Содержательный характер задач корреляционно-регрессивного метода

1. Задача выделения важнейших факторов, влияющих на результативный признак.

2. Задача оценки хозяйственной деятельности по эффективности использования имеющихся факторов производства.

3. Задача прогнозирования возможных значений результативного признака при задаваемых значениях факторных признаком. Такая задача решается путем подстановки ожидаемых или планируемых, или возможных значений факторных признаков в уравнение связи и вычисления ожидаемых значений результативного признака.

4. Задача подготовки данных, необходимых в качестве исходных для решения оптимизационных задач.

2.2. Вычисление и интерпретация параметров парной линейной корреляции

Простейшей системой корреляционной связи является линейная связь между признаками или парная линейная корреляция. Уравнение парной линейная корреляция связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид:

(2.4)

– нее значение результативного признака при определенном значении факторного признака х;

a – свободный член уравнения;

b – коэффициент регрессии, измеряющий среднее отношение отклонения результативного признака от его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины на одной единицу его измерения, т.е. вариация у, %, приходящаяся на единицу вариации x.

Уравнение (2.4) определяется по данным о значениях знаков x и y в изучаемой совокупности, состоящей из n единиц. Параметры a и b находят методом наименьших квадратов. Исходное условие метода наименьших квадратов для любых линий:

Для отыскания значений параметров a и b, при которых функция имеет минимальное значение, частные производные функции приравнивают к нулю и преобразуют получаемые уравнения, которые называются нормальными уравнениями для прямой.

Найдем частные производные по параметрам a и b

,

Получим систему двух линейных уравнений с неизвестными a и b:

(2.5)

a и b можно вычислить по формулам Крамера:

(2.6)

– главный определитель системы;

– частный определитель, получаемый в результате замены коэффициентов при a свободными членами из правой части системы уравнений;

– частный определитель, получаемый в результате замены коэффициентов при b свободными членами из правой части системы уравнений.

Если первое уравнение системы (2.5) разделить на n и подставить во второе уравнение, то можно получить выражение для а и b через средние значения факторов:

(2.7)

(2.8)

Так как выражения есть дисперсия признака x, то:

,

Коэффициент парной линейной регрессии b имеет смысл показателя силы связи между вариациями факторного признака x и результативного y. Он измеряет среднее по совокупности отклонение y от его средней величины при отклонении признака x от его средней величины на принятую единицу измерения.

Теснота парной линейной корреляционной связи может быть измерена корреляционным отношением . Применяется также коэффициент корреляции r_xy. Он также является показателем тесноты связи. Это стандартизированный коэффициент регрессии, выражен в долях среднего квадратичного отклонения результативного признака

(2.9)

Коэффициент корреляции был предложен К. Пирсоном.

Отклонение признака фактора от его среднего значения на величину своего среднего квадратичного отклонения в среднем по совокупности приводит к отклонению признака результата от своего среднего значения на r_xy по среднему квадратичному отклонению . Коэффициент корреляции не зависит от принятых единиц измерения знака. Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации.

,

или

Так как , тогда

(2.10)

Тождество коэффициента детерминации и квадрата корреляционного отношения служит основанием для интерпретации величины коэффициента детерминации как доли общей дисперсии результативного признака y, которая объясняется вариацией признака фактора x и связью между вариацией обоих признаков.

Рабочая формула для коэффициента корреляции:

,