Методы первого порядка

Методы первого порядка используют, если возможно най­ти первую производную исследуемой функции. К данному классу относятся градиентные методы. Их суть заключается в определении лучшего направления и шага поиска минимума функции по значениям первых производных в некоторой точ­ке х^(к). Наибольшее значение производной показывает направ­ление наискорейшего уменьшения функции, и в этом направ­лении рассчитывается следующее приближение функции у = параметры которой отличаются на величину некоторо­го шага Ах. В зависимости от способа задания этого шага и производится классификация градиентных методов: градиент­ный спуск; наискорейший спуск; градиентный спуск с посто­янным шагом; градиентный спуск с переменным шагом. Ме­тоды эффективны для функций со слабовыраженной нелиней­ностью [42].

Методы второго порядка

Методы второго порядка используют, если возможно найти вторую производную исследуемой функции. Их основой явля­ется метод Ньютона, предполагающий аппроксимацию иссле­дуемой функции Y = fix) квадратичным полиномом в окрест­ностях некоторой точки jc^w (точки начального приближения). Следующее приближение х⁽*⁺¹⁾ определяется путем минимума квадратичной аппроксимации функции F(x), т.е. такой точки в окрестности jc^(t), в которой вид функции в наибольшей степени «похож» на квадратичную. Различные модификации метода Ньютона в основном отличаются друг от друга способами расчета вторых производных. Методы второго порядка схо­дятся быстрее градиентных, однако требуют вычислений вто­рых производных [42].

Синтез систем управления с помощью многокритериальной оптимизации

Область применения. Методы многокритериальной опти­мизации используются в задачах многоцелевого характера, когда предназначение системы может быть реализовано лишь при достижении нескольких целей.

Многокритериальные задачи могут решаться как в услови­ях определенности, так и в условиях риска и неопределенно­сти. Подобные задачи возникают в процессе реорганизации общественных систем управления, проектирования и эксплуа­тации автоматизированных и автономных технических систем управления, управления отраслями промышленности, войска­ми, предприятиями, организаций научных исследований и т.п. [64].

Сущность. В многокритериальных задачах, как правило, большинство требований к улучшению значений используе­мых показателей противоречат друг другу. В таком случае го­ворят об антагонизме целей, и основной задачей становится поиск правила, удовлетворяющего все цели с помощью ком­промиссного решения.

Многокритериальная задача выработки решений может быть поставлена следующим образом [64].

Определено множество показателей эффективности, значе­ния которых могут быть заданы в виде вектора q = (д_ъ а_ъ q_n) или соответствующей точки в n-мерном пространстве. Оп­ределены зависимости q,{ji, к), i = 1, 2, и, каждого i-ro пока­зателя от параметров jue Ми условий vе N выбора. Задана модель предпочтений показателей Щ. Требуется найти такие значения параметров выбора ju*, при которых значения пока­зателей эффективности q(jU*, v) удовлетворяют заданной мо­дели предпочтений Д).

Особенности использования. Все существующие методы многокритериальной оптимизации делятся на две группы [г]. К первой относятся методы, в которых количественно или ка­чественно оценивается степень важности каждого показателя для достижения предназначения системы управления в целом.

Это позволяет создавать некоторый обобщенный показа­тель и описывать критерий уже относительно него, т.е. осуще­ствляется сведение многокритериальной задачи к однокрите-риальной, методы решения которой хорошо известны.

Во второй группе методов осуществляется поиск решения на всем пространстве критериев путем сужения области воз­можных решений. Из суженной области возможных решений субъективно выбирается одно.

Наиболее употребительные методы. В первой группе ме­тодов наиболее просты и известны методы свертывания пока­зателей с помощью векторных коэффициентов. При качест­венной оценке степени важности целей используются лексико­графические методы.

Во второй группе наиболее известен метод Парето, заклю­чающийся в исключении заведомо плохих вариантов реше­ний [38].