1.2. Шеснадцатеричная система счисления

Шеснадцатеричная система основана на том, что в числа кодируются 16-ю цифрами. В качестве таковых выступают цифры 0…9 и буквы латинского алфавита: «A», «B», «C», «D», «E» и «F». Значения символов приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Значения символов шестнадцатеричной системы

Символ	Значение	Символ	Значение
0	0	8	8
1	1	9	9
2	2	A	10
3	3	B	11
4	4	C	12
5	5	D	13
6	6	E	14
7	7	F	15

Принцип пересчета остается прежним, как и в двоичной системе, но основание счета будет равным «16» с соответствующим изменением всех формул.

Преобразование целых чисел

Целые числа переводятся последовательным целочисленным делением на основание счета, на «16», с вычислением остатков. Делению подвергаем число до тех пор, пока оно не станет меньше «16», все остатки также не должны превышать «15». Продемонстрируем перевод числа 702₁₀ в шестнадцатеричную форму (см. рис. 1.3).

702		16
688		43		16
14		32		2
		11

Рис. 1.3. Пример перевода числа из 10-й формы в 16-ую

Как мы видим, получились значения «2», «11» и «14». Значения, которые меньше 10 оставляем без изменения, а остальные преобразовываем в буквы (см. рис. 1.3). Таким образом, сохраняя прежнюю очередность, имеем: 702₁₀ → 2BE₁₆ .

Обратный пересчет осуществляется также исходя из развернутой формы числа. Пронумеруем разряды числа:

2	1	0
2	B	E

Произведем сложение разрядов умноженных на основание счета в степенях их порядковых номеров, не забывая заменять буквы соответствующими значениями (см. табл. 1.2):

2 · 16² + 11 · 16¹ + 14 · 16⁰ = 512 + 176 + 14 = 702₁₀

Исходное число восстановилось без погрешности, как и в случае с двоичной системой.

Преобразование дробных чисел

Дробные части числа преобразуются в шестнадцатеричную систему умножением на основание счета, в данном случае на «16», до ее исчезновения. Для примера переведем число 0,68₁₀ в эту систему счисления (см. рис. 1.4)

×	0,68
	16
×	10,88
	16
×	14,08
	16
×	1,28
	16
	4,48
и. т.д.

Рис. 1.4. Перевод дробного числа

из десятичной системы в шестнадцатеричную

Как и в случае с двоичной системой, умножению на каждом этапе подвергаем только дробные части. Полученные целые части записываем в качестве разрядов нашего числа, заменяя те разряды, которые оказались больше «9» на эквивалентную букву в соответствии с табл. 1.2. Аналогично двоичной системе, перевод дробного числа возможен с появлением иррациональных чисел. Такие числа округляем на заданном разряде. В итоге, получаем следующий результат: 0,68₁₀ = 0,AE14…₁₆ .

Обратный расчет также протекает через развернутую часть числа, помня, что буквы это цифры, и их необходимо, при расчете, перевести в соответствующее им число (см. табл. 1.2):

0	-1	-2	-3	-4
0,	A	E	1	4

Из примера видно, что дробные числа преобразовываются с погрешностью, как и в предыдущей системе счисления.

Если число содержит целую и дробную части одновременно, то обрабатываем его по отдельности (см. раздел «Двоичная система»): целая часть переводится делением, а дробная – умножением, а затем обе части соединяются.

Так, число 702,68₁₀ преобразуется следующим образом:

• целая часть: 70210 = 2BE₁₆

• дробная часть: 0,36₁₀ = 0,AE14…₁₆

В итоге получаем: 702,68₁₀ = 2BE,AE14…₁₆