Преобразование дробных чисел

Дробные числа преобразуются иными методами, а именно умножением. Умножению подвергаем только дробную часть до тех пор пока она не исчезнет. Продемонстрируем преобразование числа 0,125₁₀ и 0,1₁₀ в двоичную систему счисления:

×	0,125	×	0,1
	2		2
×	0,250	×	0,2
	2		2
×	0,500	×	0 ,4
	2		2
	1,000	×	0,8
			2
		×	1,6*
			2
		×	1,2
			2
			0,4

Рис. 1.2. Перевод дробного числа из десятичной системы в двоичную

(* - умножению подлежит только дробная часть числа, поэтому - 0,6·2=1,2)

Разрядами двоичного числа будут целые части чисел, образующихся при умножении. Первый ноль в исходном числе это ноль в целой части, а остальные - разряды двоичного числа. Поэтому имеем 0,125₁₀ → 0,001₂. Во втором случае наблюдается зацикливание расчетов, таким образом, расчеты дают двоичное число с бесконечной дробной частью (иррациональное число) которое записывается следующим образом 0,000110011(0011)… (см. рис. 1.2).

Поскольку в памяти компьютера все числа могут быть только рациональными, то приходится полученное число округлять до заданной точности (необходимое число разрядов в ячейках памяти компьютера), что привносит ошибку. Таким образом, не все дробные числа, вводимые в десятичной системе счисления, представляются абсолютно точно в памяти компьютера.

Обратный перевод осуществляется похожим образом, что и для целых чисел, но степени в выражении будут отрицательные:

-1 -2 -3 0, 0 0 1 Произведем сложение разрядов с учетом их степеней:

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 0, 0 0 0 1 1 0 0 1 1 Произведем сложение разрядов с учетом их степеней: Результат лишь примерно равен исходному числу (см. прим. выше)

Если число содержит целую и дробную части одновременно, то оно преобразуется двумя действиями: каждая из частей преобразуются отдельно друг от друга, а затем соединяются. Например, число 23,43₁₀ будет преобразовано следующим образом:

Преобразуем целую часть 2310 в двоичную систему: 23 2 22 11 2 1 10 5 2 1 4 2 2 1 2 1 0 Получаем: 2310 = 101112

Преобразуем дробную часть 0,4310 в двоичную систему: × 0,43 × 1,76 2 2 × 0,86 × 1,52 2 2 × 1,72 × 1,04 2 2 × 1,44 × 0,08 2 2 × 0,88 0,16 2 … 1,76 и т.д. Получаем 0,4310 = 0,011011100…2

Для получения итогового числа соединяем обе части вместе и получаем:

23,43₁₀ = 10111,011011100…₂

Обратный пересчет осуществляем, как было показано выше, через развернутую форму числа:

4	3	2	1	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9
1	0	1	1	1,	0	1	1	0	1	1	1	0	0

Произведем сложение разрядов с учетом их степеней (для простоты будем рассматривать только значимые разряды, отличные от нуля):