- •Информатика Учебно-методическое пособие
- •Часть 1
- •Режим доступа к электронному аналогу печатного издания: http://www.Libdb.Sssu.Ru
- •Содержание
- •Предисловие
- •11. Основные требования фгос впо и структура дисциплины
- •2Основные понятия информатики
- •2.1. Понятие информации
- •2.2. Свойства информации
- •Понятие количества информации
- •2.4. Предмет и задачи информатики
- •2.5. Представление (кодирование) данных
- •3. Системы счисления и представление информации в эвм
- •3.1. Понятие об основных системах счисления
- •3.2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
- •Представление чисел в различных системах счисления
- •3.3. Двоичная арифметика
- •3.4. Представление чисел в эвм
- •Примеры представления целых чисел в шестнадцатиразрядных двоичных кодах
- •Представление десятичных чисел в четырёхразрядном коде Грея
- •3.5. Кодирование информации в эвм
- •Базовая таблица кодировки ascii
- •4. Логические основы построения эвм
- •4.1. Основы алгебры логики
- •4.2. Операции сравнения
- •4.3. Логические операции
- •Основные логические операторы
- •4.4. Основы элементной базы эвм
- •4.5. Элементы теории множеств
- •4.6. Элементы теории графов
- •3Технические средства реализации информационных процессов
- •5.1. История развития эвм
- •5.2. Классификация эвм
- •5.3. Архитектура эвм
- •5.4. Состав персонального компьютера
- •5.5. Внешние устройства
- •6. Программное обеспечение эвм
- •6.1. Базовые понятия ос
- •6.2. Классификация операционных систем
- •6.3. Файловая структура эвм
- •6.4. Файловые системы Microsoft Windows
- •6.5. Драйверы устройств
- •6.6. Служебные программы
- •6.7. Обзор операционных систем unix и Linux
- •6.8. Обзор операционных систем Windows
- •Команды ms-dos и их описание
- •7. Прикладное и инструментальное программное обеспечение
- •7.1. Прикладное программное обеспечение общего назначения
- •7.2. Прикладное программное обеспечение специального назначения
- •7.3. Инструментальное по 1
- •7.4. Нумерация версий программ
- •7.5. Правовой статус программ
- •7.6. Текстовые редакторы и процессоры
- •8. Модели решения функциональных и вычислительных задач
- •8.1. Моделирование как метод познания
- •8.2. Классификация моделей
- •8.3. Компьютерное моделирование
- •8.4. Информационные модели
- •8.5. Примеры информационных моделей
- •8.6. Базы данных
- •8.7. Искусственный интеллект
- •9. Основы алгоритмизации
- •9.1. Понятие алгоритма
- •9.2. Свойства алгоритма
- •9.3. Исполнители алгоритмов
- •9.4. Способы описания алгоритмов 1
- •Обозначения, название и функциональное назначение
- •9.5. Основные алгоритмические конструкции
- •9.6. Структурный подход к разработке алгоритмов
- •10. Тематика практических занятий
- •11. Темы, выносимые на зачёт, и примеры тестовых заданий
- •Библиографический список
- •Часть 1
- •3 46500, Г. Шахты, Ростовская обл., ул. Шевченко, 147
4.5. Элементы теории множеств
Множеством называется любое объединение определённых, вполне различимых объектов; их может и не быть вообще. Можно говорить о множестве точек на отрезке [0,1], множестве студентов в группе, множестве снежных дней в июле на экваторе, т.е. множество образуют любые объекты, объединённые по любому признаку. Объекты, составляющие множество, называются элементами множества. Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым, обозначается Ø. Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае – бесконечным.
Задать множество можно перечислением его элементов. Например, множество, образованное из n элементов а1, а2, ..., аn, обозначается А = {а1, а2, ..., аn}; пишется а А (говорится «элемент а при надлежит множеству А»), если а является элементом множества А, в противном случае a A. Задать множество можно также, указав общее свойство для всех его и только его элементов. Например, множество равноудалённых от концов отрезка точек. Два множества считаются равными, если состоят из одних и тех же элементов; записывается А = В. Множество B называется подмножеством А (записывается BА), если все элементы множества А1 являются элементами А.
Для множеств определены следующие операции: объединение, пересечение, дополнение. Объединением множеств А и В (записывается AB) называется множество, состоящее из элементов как одного, так и второго множества. Например, А и В – множества точек, принадлежащих некоторым двум кругам, имеющим общие точки, тогда объединением AB будет фигура, состоящая из общих точек. Пересечением множеств А и В (записывается АВ) называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих как одному, так и второму множеству одновременно. Дополнением множества А до В называется множество, состоящее из элементов множества В, не принадлежащих А. Дополнение обозначается C = В-А (рис. 1).
АВ |
АВ |
В-А |
Рис. 1. Операции над множествами
4.6. Элементы теории графов
Граф задаётся парой множеств: множества Е, называемого множеством вершин, и множества U, называемого множеством рёбер. Ребро u U есть пара (еi, еj), где еi, еj Е , указывающая, между какими двумя вершинами проведено ребро. Говорят, что ребро u U инцидентно вершинам еi, еj. Если порядок рёбер не имеет значения, т.е. u = (еi, еj) = (еj, еi), то ребро называется неориентированным или просто ребром, если же порядок имеет значение, то ребро u = (еi, еj) называется ориентированным ребром или дугой. Вершина еi называется началом дуги, еj – конец дуги. Граф, содержащий хотя бы одну дугу, называется ориентированным графом или орграфом.
Граф G (E, U) называется конечным, если множество Е вершин конечно.
Граф G (E, U), у которого каждая вершина еi Е соединена рёбрами с остальными вершинами (любые две вершены соединены ребром), называется полным (рис. 2).
Рис. 2. Полный граф
Если хотя бы две вершины соединены несколькими рёбрами, то такой граф называется мультиграфом. Две вершины еi, еj Е называются смежными, если они соединены ребром. Число рёбер, инцидентных данной вершине еj, называется локальной степенью этой вершины р(еi). Число рёбер r графа G(E,U) определяется выражением.
где n – количество вершин в графе.
Рассмотрим граф, изображённый на рисунке 3.
Рис. 3. Ориентированный граф
Множество вершин графа состоит из пяти элементов: Е = {1, 2, 3, 4, 5}, а множество рёбер U = {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (3, 4), (5, 3)}. Ребро (5, 3) является ориентированным ребром или дугой. Число рёбер в графе определяется по значению локальных степеней для каждой вершины:
р(1) = 3; р(2) = 2; р(3) = 3; р(4) = 2; р(5) = 2; р = (3 + 2 + 3 + 2 + 2) / 2 = 6.
Важным в теории графов является понятие части графа G(E,U), который обозначается G'(E',U') G(E,U). Множества вершин и ребёр части графа являются подмножествами вершин и рёбер исходного графа Е' Е U' U. Многие задачи на графах состоят в определении частей графа с заданными свойствами.
Часть графа G'(E',U') G(E,U) называется подграфом графа G(E,U), если Е' Е, а подмножество U'U образовано только рёбрами, инцидентными вершинам множества Е'.
Маршрутом графа G называется последовательность рёбер S = (u1, u2, , u n), в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину, т.е. u1 = (е1, е2); u2= (е2, е3); ... u n = (еn, еn+1). Не исключено, что одно и то же ребро может встречаться несколько раз на одном маршруте.
Две вершины еi и еj называются связанными, если существует маршрут из еi в еj.
Простой цепью, или простым путём, называется маршрут, в котором ни одно ребро не повторяется дважды. Элементарной цепью или элементарным путём называется маршрут, в котором ни одна вершина не повторяется дважды. Циклом в графе называется маршрут, у которого начальная вершина совпадает с конечной. Например, граф, представленный на рисунке 4, имеет цикл S = (1, 2, 3, 5, 4, 1).
Рис. 4. Пример графа, имеющего цикл
Цикл, проходящий по всем рёбрам графа только один раз, называется эйлеровым циклом. В теории графов доказывается теорема, определяющая, содержит ли граф эйлеров цикл. Оказывается, конечный граф содержит эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он связан, и все его локальные степени вершин чётные. Важной прикладной задачей теории графов является задача поиска в графе цикла, проходящего через каждую вершину только один раз. Такие циклы называются гамильтоновыми циклами.
Весьма важным является связанный граф, не имеющий циклов, он называется деревом. В дереве любые две вершины связаны единственным путём. Вершина называется концевой, если ей инцидентно не более одного ребра; одна из концевых вершин может быть выбрана в качестве корня.