3.3. Синтез и реализация двумерных ких-фильтров

Синтез двумерных цифровых фильтров существенно отличается от синтеза одномерных. В одномерном случае задачи синтеза фильтра и его схемной реализации четко разделены. Сначала выполняется синтез фильтра, а затем с помощью соответствующих преобразований передаточной функции определяются коэффициенты, необходимые для построения конкретной схемной реализации. В двумерном случае ситуация совершенно иная из-за того, что многомерные полиномы в общем случае нельзя разложить на множители. Это значит, что нет возможности в общем случае менять форму произвольной передаточной функции для согласования ее с требованиями схемной реализации. Если мы в состоянии реализовать только передаточные функции, разложимые на множители, то и метод синтеза должен приводить только к фильтрам этого класса. Это обстоятельство усложняет задачу проектирования фильтров и сокращает число практически приемлемых реализаций.

Одно из важнейших преимуществ КИХ-фильтров перед БИХ-фильтрами заключается в возможности синтеза и практической реализации КИХ-фильтров с чисто вещественными частотными откликами. Такие фильтры называются фильтрами с нулевой фазой. В частотной области условие нулевой фазы можно выразить следующим образом:

(3.25)

Выполнив обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (3.25), для импульсного отклика фильтра с нулевой фазой получим требование симметрии в пространственной области

(3.26)

Очевидно, что КИХ-фильтр может удовлетворять этому условию, если центр его опорной области совпадает с началом координат.

Фильтры с нулевой фазой важны для многих приложений цифровой обработки многомерных сигналов. Например, при обработке изображений фильтры с ненулевой фазой могут привести к разрушению линий и границ. Линейный инвариантный к сдвигу фильтр с нетривиальным частотным откликом будет избирательно усиливать или ослаблять некоторые из этих синусоидальных компонент, а также задерживать некоторые компоненты по отношению к другим. На любой частоте величина задержки зависит от значения фазового отклика. Нелинейный фазовый отклик приводит, таким образом, к рассеянию строго согласованных синусоидальных компонент сигнала, составляющих контрастные точки, линии и границы.

Фильтр с нулевой фазой имеет и другие преимущества. В силу вещественности его частотного отклика упрощается синтез фильтра. К тому же симметрию импульсного отклика фильтра можно использовать при его реализации для уменьшения требуемого числа умножений.

3.3.1. Реализация ких-фильтров с помощью прямой свертки

Для двумерного КИХ-фильтра вычисление выходных отсчетов проводится с использованием соотношения:

(3.27)

Для получения каждого выходного отсчета требуется выполнить N₁ хN₂ умножений и (N₁ хN₂ –1) сложений.

При вычислении у(п₁, п₂) используются значения входных отсчетов из (N₁ – 1) «предыдущих» столбцов и (N₂ –1) «предыдущих» строк. Если входные отсчеты поступают строка за строкой, требуется память, достаточная для хранения N₂ строк входной последовательности. Если, наоборот, на вход поступают столбец за столбцом, необходима память для хранения N₁ входных столбцов.

Фильтр с нулевой фазой с вещественным импульсным откликом удовлетворяет условию , каждому отсчету соответствует парный ему отсчет с тем же значением. В этом случае, воспользовавшись свойством дистрибутивности сложения, можно поменять местами некоторые операции умножения и сложения, чтобы уменьшить их число, однако количество умножений, требуемых для реализации фильтра, все еще остается пропорциональным порядку фильтра. Если, например, опорная область фильтра прямоугольна и ее центр расположен в начале координат, то

(3.28)

Данное соотношение получено в результате следующих преобразований:

При таком способе реализации КИХ-фильтра требуется вместо требуется только умножений, т.е. приблизительно вдвое меньше, хотя в обоих случаях выполняется одно и то же число сложений и требуется тот же объем памяти. Если для импульсного отклика КИХ-фильтра характерны другие формы симметрии, ими можно воспользоваться для дальнейшего уменьшения числа требуемых умножений.