2.2. Характеристика бих-фильтров

Определим характерные черты КИХ-фильтров, которые определяются природой БИХ-фильтров как фильтров с обратной связью или рекурсивных фильтров.

1. Простая структура. БИХ-фильтры могут быть реализованы с более простой структурой, меньшим количеством вычислений и объемом памяти, чем КИХ-фильтры, при тех же требованиях по качеству и обеспечении устойчивости. Это связано с тем, что БИХ-фильтры реализуются при помощи нулей и полюсов передаточной функции, тогда как КИХ-фильтры реализуются только через нули.

2. Реализация с использованием каскадного соединения секций второго порядка. БИХ-фильтры высокого порядка, созданные непосредственно по уравнениям (2.2) или (2.12)–(2.13), накапливают ошибки квантования (из-за арифметики с фиксированной точкой и конечной длины слова), что может вызывать неустойчивость работы фильтра и большие ошибки. По этой причине правильнее расположить каскадно несколько биквадратных звеньев с соответствующими коэффициентами. Данные при вычислении биквадратных фильтров могут масштабироваться раздельно, а затем биквадратные звенья каскадируются для минимизации ошибок квантования коэффициентов и ошибок рекурсивного накопления. Каскадные биквадратные фильтры работают более медленно, чем их эквиваленты прямой формы реализации, но они более устойчивы и в них минимизируются эффекты, связанные с арифметическими ошибками конечной разрядности данных. Анализ БИХ-фильтров сводится к анализу секций 2-го порядка.

3. Аналоговые прототипы. БИХ-фильтры имеют традиционные аналоговые эквиваленты (фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптический и Бесселя) и могут быть проанализированы и синтезированы с использованием традиционных методов проектирования фильтров.

4. Доступность средств автоматизированного проектирования (САПР), такие как Matlab, LabView и др.

5. Наличие проблем с устойчивостью.

6. Нелинейность ФЧХ. БИХ-фильтр имеет нелинейную ФЧХ, что неприемлемо в некоторых приложениях.

7. Наличие накапливаемой ошибки на выходе БИХ-фильтра при нуле на входе.

Если на вход БИХ-фильтра подать одиночный прямоугольный импульс, то можно увидеть, что импульсная характеристика системы в общем случае будет бесконечной, что и определило название этого типа фильтров. Если

,

то в соответствии с формулой (2.2):

;

;

;

…

Из последнего выражения следует, что даже после окончания действия входного сигнала, в общем случае, на выходе будет наблюдаться сигнал, отличный от нуля и определяемый обратной связью.

2.3. Прототипы бих-фильтров

Критериями при проектировании фильтров являются [12]:

1.Плоскость характеристики в полосе пропускания.

2.Крутизна перехода от полосы пропускания к полосе подавления.

3.Окончательный наклон характеристики в полосе подавления.

4.Фазовые искажения.

5.Временные характеристики: время нарастания, перерегулирование и время установления.

Выбор прототипа определяется требованиями, предъявляемыми к фильтру в соответствии с этими критериями. В таблице 3.1 приведена сравнительная характеристика прототипов.

Фильтр Баттерворта, не имеющий нулей частотной характеристики, (также называемый фильтром с максимально плоской характеристикой), не создает пульсаций (неравномерности) АЧХ в полосе пропускания и в полосе подавления, т.е. обладает монотонной АЧХ в обеих полосах. Квадрат АЧХ для аналогового ФНЧ -го порядка, построенного с использованием прототипа Баттерворта, описывается выражением:

(2.14)

где – это частота среза, на которой затухание равно 3dB.

Фильтр Чебышева 1-го рода имеет более быстрый спад АЧХ, чем фильтр Баттерворта (при равном порядке), и создает пульсации (неравномерность) АЧХ в полосе пропускания. Квадрат АЧХ фильтра Чебышева 1 рода -го порядка имеет следующий вид:

(2.15)

Таблица 2.1 Сравнительная характеристика прототипов.

Характе- ристика Прототип	Пульсации АЧХ в полосе пропускания	Пульсации АЧХ в полосе подавления	Характер ФЧХ	Ширина полосы перехода
Эллиптиче-ский (Кауэра)	+	+	нелинейность уменьшается	увеличивается при одном и том же порядке
Чебышева 2 рода (Инверсный Чебышев)	–	+
Чебышева 1 рода	+	–
Баттерворта	–	–
Бесселя (Томпсона)	–	–	линейная

где – коэффициент пульсации в полосе пропускания, определяющий неравномерность характеристики в полосе пропускания;

- полином Чебышева 1-го рода степени N:

,

– функция гиперболический косинус,

– обратная гиперболическая функция ареа-косинус.

Таким образом, при =0:

.

В конце полосы пропускания для всех значений N:

.

Реже используются фильтры Чебышева 2-го рода (Инверсные фильтры Чебышева), имеющие пульсации (неравномерность) АЧХ в полосе подавления, а не в полосе пропускания:

. (2.16)

Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра) имеет полюса и нули АЧХ и создает пульсации (неравномерность) АЧХ и в полосе пропускания, и в полосе подавления. Этот фильтр имеет более быстрый спад АЧХ, чем фильтр Чебышева при том же числе полюсов (порядке). Эллиптический фильтр часто используется там, где допускается несколько худшая ФЧХ. АЧХ в полосе пропускания. Квадрат АЧХ фильтра Чебышева 1 рода -го порядка имеет следующий вид:

(2.17)

где – рациональная эллиптическая функция N-го порядка;

ξ – коэффициент пульсации в полосе подавления, определяющий неравномерность характеристики в полосе подавления.

Эллиптическая функция – периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости. Эллиптические функции можно рассматривать как аналоги тригонометрических (имеющих только один период).

Наконец, фильтр Бесселя (Томпсона), который не имеет нулей частотной характеристики, обладает оптимальной линейной ФЧХ , но имеет худший спад АЧХ из всех рассмотренных типов фильтров при том же числе полюсов (порядке).

, (2.18)

.

В этом случае передаточная функция может быть представлена результатом разложения соответствующей экспоненциальной функции в ряд Тейлора с заданным числом членов ряда:

.

При использовании прототипа Чебышева 1 рода количество экстремумов АЧХ у ФНЧ и ФВЧ в полосе пропускания равно порядку фильтра N. При использовании прототипа Чебышева 2 рода количество экстремумов АЧХ у ФНЧ и ФВЧ в полосе подавления равно порядку фильтра N. При использовании прототипа Чебышева 1-го рода для полосовых фильтров количество экстремумов АЧХ в полосе пропускания равно 2N-1, а для фильтров-пробок – 2N. При использовании прототипа Чебышева 2-го рода количество экстремумов АЧХ в полосе подавления для фильтров-пробок равно 2N-1, а для полосовых фильтров – 2N.

При одном и том же прототипе (Чебышев 1-го и 2-го рода, эллиптический) и порядке фильтра при увеличении амплитуды пульсаций ширина полосы перехода сужается.

Для исправления нелинейности ФЧХ используется всепропускающие фильтры, у которых АЧХ постоянна, а ФЧХ задают нелинейностные формы, которые позволяют проектировать произвольную форму ФЧХ.

Все вышеперечисленные типы аналоговых фильтров описаны в литературе, их преобразования по Лапласу H(s) доступны либо из таблиц, либо могут быть получены с помощью средств САПР.