![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •1. Фильтры с конечной импульсной характеристикой
- •1.1. Структурная схема фильтров с конечной импульсной характеристикой
- •1.2. Характеристика ких-фильтров
- •1.3.Общий порядок синтеза ких-фильтра.
- •2. Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой
- •2.1. Структурная схема фильтров с бесконечной импульсной характеристикой
- •2.2. Характеристика бих-фильтров
- •2.3. Прототипы бих-фильтров
- •2.4. Синтез коэффициентов бих-фильтров
- •2.5. Синтез фильтров со сложной формой ачх
- •3. Двумерные фильтры
- •3.1 Двумерные дискретные сигналы
- •3.2. Формализация описания двумерных дискретных систем
- •3.3. Синтез и реализация двумерных ких-фильтров
- •3.3.1. Реализация ких-фильтров с помощью прямой свертки
- •3.3.2. Реализация ких-фильтров с помощью ддпф
- •3.3.3. Реализация ких-фильтров с использованием окон
- •3.3.4. Синтез ких-фильтров для специальных способов реализации
- •3.4. Синтез и реализация двумерных бих-фильтров
- •4. Методы цифровой обработки изображений
- •4.1. Пространственная фильтрация цветных изображений
- •4.2. Эквализация гистограммы
- •4.3. Фильтрация с усилением высоких частот
- •4.4. Решение задачи выделения контуров изображений
2. Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой
2.1. Структурная схема фильтров с бесконечной импульсной характеристикой
Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры, IIR-фильтры (Infinite Impulse Response Filter)) длиной N в общем случае описываются следующим разностным уравнением [11]:
,
(2.1)
из которого можно выразить текущее значение выходного сигнала:
.
(2.2)
Это представление определяет выход БИХ-фильтра как функцию предыдущих отсчетов выходного сигнала, а также текущего и предыдущих отсчетов входного сигнала.
Простейшим примером БИХ-фильтра является цифровое инерционное звено. Передаточная функция инерционного звена для систем непрерывного времени имеет вид:
.
Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид:
.
Если производную заменить первой разделенной разностью:
,
то получим рекуррентное уравнение, описывающее соответствующую систему дискретного времени:
.
или
.
Из полученного выражения можно получить формулу для определения текущего значения выходного сигнала (рис. 2.1):
.
КИХ-фильтры являются частным случаем БИХ-фильтров, для которых
(2.3)
Передаточной функцией БИХ-фильтра является дробно-рациональная функция:
Рис. 2.1. Импульсная переходная характеристика и АЧХ цифрового инерционного звена
.
(2.4)
Существует несколько структур реализации БИХ-фильтров.
БИХ-фильтры обычно реализуются с помощью звеньев второго порядка, которые называют биквадратными фильтрами, потому что они описываются биквадратными уравнениями в z-области. Фильтры высокого порядка проектируют, используя каскадирование биквадратных звеньев или их параллельное соединение.
В каскадной форме передаточная функция в равенстве (2.4) факторизуется (разбивается) на произведение передаточных функций секций 2-го порядка:
;
(2.5)
где
;
(2.6)
Вся система представляет собой каскад таких секций (рис. 2.2). Выход предыдущей секции является входом следующей:
Рис.
2.2.
Каскадная форма реализации БИХ-фильтра
длиной N
Рис. 2.3. Параллельная форма реализации БИХ-фильтра длиной N
Рис. 2.4. Прямая форма I реализации БИХ-фильтра длиной N
.
(2.7)
При использовании параллельной формы передаточная функция в равенстве (2.4) представляется как сумма передаточных функций секций 2-го порядка:
;
(2.8)
где
;
(2.9)
.
(2.10)
Вся система представляет собой параллельное соединение таких секций (рис. 2.3). Параллельная реализация требует использования многопроцессорной системы.
При использовании каскадной или параллельной реализации БИХ-фильтра каждая из биквадратных секций реализуется в прямой форме. В ней точно реализуется разностное уравнение (2.2). Разностное уравнение содержит две части, а именно КИХ-фильтр и рекурсивную или части числителя и знаменателя передаточной функции, поэтому эта реализация имеет две версии: прямая форма I и прямая форма II.
Прямая форма I реализации БИХ-фильтра длиной N представлена на рис. 2.4.
Прямая форма II
реализации БИХ-фильтра длиной N
является
эквивалентной схемой прямой формы I
(рис. 2.5). В этом случае передаточная
функция БИХ-фильтра
преобразуется
с использованием вспомогательной
переменной
:
,
(2.11)
где
– предсказательная часть;
– обратная связь.
Соответствующие разностные уравнения имеют вид:
;
(2.12)
.
(2.13)
В этом случае
необходимо хранить только переменную
,
что в два раза сокращает объем необходимой
для хранения данных памяти.
Рис. 2.5. Прямая форма II реализации БИХ-фильтра длиной N