8.2.Статистическая оценка корреляционной функции случайного процесса

Статистическая оценка корреляционной функции случайного процесса в сечениях t_k и t_j записывается в виде:

В случае стационарного эргодического процесса оценка корреляционной функции может быть произведена по единственной реализации случайного процесса, зарегистрированного в течение длительного времени Т. Разобьем этот интервал на малые интервалы . Пусть , а интервал корреляции (  m). Тогда в интервале наблюдения процесса Т содержится ( ) различных интервалов протяженностью . Оценка корреляционной функции в этом случае принимает вид:

. (8.12)

Если умножить и разделить(8.12) на и учесть, что , то при

, получим

. (8 .13)

Покажем, что оценка (8.13) является несмещенной и состоятельной.

. (8.14)

Равенство (8.14) подтверждает несмещенность оценки.

Можно показать, что , т.е. оценка является состоятельной.

Если исследователь располагает несколькими независимыми реализациями эргодического процесса (i=1…n), то усредненная оценка его корреляционной функции будет:

. (8.15)

Практически определение оценок математического ожидания и корреляционной функции случайного процесса следует осуществлять с помощью специальных приборов (например, аналого-цифровых устройств) либо в темпе самого процесса, либо по заранее зарегистрированным его реализациям. Такие приборы, использующие ту или иную элементную базу, носят название корреляторы. В этих приборах осуществляется вычисление числовых характеристик процесса по приведенным выше выражениям.

8.3. Статистическая оценка спектральной плотности случайного процесса

Возможны два пути определения статистической оценки спектральной плотности случайного процесса на основе экспериментов. Первый путь связан с экспериментальным определением корреляционной функции, а затем с расчетным определением спектральной плотности. Второй путь позволяет определить оценку спектральной плотности непосредственно опытным путем. Соответствующие алгоритмы проиллюстрированы на рис.8.2.

Определение

оценки S_XX()

Экспериментальное

определение K_XX()

Непосредственное определение из опыта

(фильтрация с помощью узкополосного фильтра)

Аппроксимация

K_XX()

Определение оценки

S_XX()

Вычисление

S_XX() c помощью

обратного двухст.

преобразования

Фурье (Лапласа)

Рис.8.2. Возможные алгоритмы статистической оценки спектральной

плотности случайного процесса

Из приведенного алгоритма видно, что в случае экспериментального определения корреляционной функции K_XX() возможны два способа оценки спектральной плотности. Первый способ связан с аппроксимацией корреляционной функции, а затем аналитическим (или численным) определением спектральной плотности с помощью обратных двухсторонних преобразований либо Фурье, либо Лапласа.

Если же нет уверенности в достоверности принятой аппроксимации корреляционной функции, то приходится определять оценку спектральной плотности по оценке . В этом случае вместо интеграла приходится вычислять интеграл . При этом основная погрешность определяется конечными пределами интегрирования. Действительно, если принять ,то . Если же взять интеграл от этой же подынтегральной функции в пределах (–Т…Т), то

. (8.16)

Следовательно максимальная погрешность при определении составляет . Эта погрешность уменьшается с увеличением времени наблюдения процесса Т. Так, при =0.001 1/с и =0.003 1/с 200 с, а = 232.57, 85.56, 31.48 и 4.26 при Т=1000, 2000, 3000 и 5000 с, соответственно. Таким образом, погрешность при конечном времени наблюдения при его увеличении с 1000 до 5000 с уменьшилась со 116% до 2.13%.

Для уменьшения погрешности, вносимой конечным временем наблюдения процесса, при определении под знак интеграла вводится весовая функция : . Выбор вида весовой функции достаточно сложен. Укажем только наиболее часто применяемые весовые функции:

усеченная оценка;

видоизмененная оценка Бартлетта;

 оценка Хемминга.

Во всех приведенных выражениях Т₀T – ширина окна. Общих теоретических соображений по величине ширины окна не разработано. Эта величина в том числе зависит от характеристик изучаемого процесса. Исследователи обычно меняют ширину окна и следят за характером .

Непосредственное определение оценки спектральной плотности в опыте возможно при достаточно большом времени наблюдении случайного процесса. При этом реализация случайного процесса пропускается через фильтр, обладающий узкой полосой пропускания. Покажем идею этого метода. Спектральная плотность на выходе любой динамической системы может быть представлена в виде:

(8.17)

Предположим, что динамическая система представляет собой узкополосный фильтр:

. (8.18)

В этом случае дисперсия процесса на выходе динамической системы может быть представлена в виде:

.

Из последнего выражения следует, что

. (8.19)

Из выражения (8.19) видно, что свойства процесса влияют лишь на D_Y и не сказываются на параметрах фильтра. Оценка дисперсии процесса на выходе динамической системы определяется общепринятым способом:

. (8.20)

Настраивая фильтр на разные частоты, получаем зависимость спектральной плотности случайного процесса от частоты.