![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •6. Выбросы случайных процессов
- •6.1. Общие понятия
- •6.2. Математическое ожидание числа положительных выбросов
- •7. Некоторые нелинейные задачи теории случайных
- •7.1 Метод статистической линеаризации
- •7.2. Исследование точности нелинейных систем
- •8.Определение характеристик случайных процессов
- •8.1. Статистическая оценка математического ожидания случайного
- •8.2.Статистическая оценка корреляционной функции случайного процесса
- •8.3. Статистическая оценка спектральной плотности случайного процесса
- •8.4. Определение статистической оценки закона распределения ординаты
7. Некоторые нелинейные задачи теории случайных
ПРОЦЕССОВ
7.1 Метод статистической линеаризации
Если передаточная функция системы содержит нелинейное звено, то рассмотренный ранее метод, заключающийся в использовании понятия спектральной плотности случайных процессов, не может быть непосредственно применен к анализу вероятностных характеристик процессов на выходе системы. Для приближенного определения этих характеристик можно применить метод статистической реализации, основанный на замене нелинейных функций такими линейными функциями, которые в известном смысле статистически равноценны нелинейным функциям.
Если ограничиться рамками корреляционной теории случайных процессов, то процессы на выходе нелинейной и линеаризованной систем должны иметь одинаковые моменты первого и второго порядков.
Пусть задана некоторая нелинейная функция вида
.
(7.1)
Заменим функцию (7.1) линейной функцией
.
(7.2)
Выберем коэффициенты k0
и k1
таким образом, чтобы удовлетворить
условиям:
и
.
Тогда
,
.
Следовательно, коэффициенты линеаризации определятся как
,
.
(7.3)
Знак у k1 следует брать тот же, что и у производной функции (Х).
Поскольку
,
,
то для определения коэффициентов линеаризации по (7.3) необходимо знать одномерный закон распределения случайного процесса на входе нелинейной системы.
Можно воспользоваться и иным способом
определения коэффициентов линеаризации:
из условия минимума среднего квадрата
ошибки, обусловленной заменой процесса
Y на
процесс Z
или
.
Раскрывая последнее соотношение, получим:
(7.4)_
Дифференцируя выражение (7.4) по k0 и k1 и приравнивая производные нулю, будем иметь:
,
.
(7.5)
Из (7.3) и (7.5) следует, что коэффициент k0, полученный двумя различными способами линеаризации, оказался одинаковым, в то время как коэффициенты k1 различаются между собой. И. Е. Казаков, разработавший метод статистической реализации, предлагает в качестве коэффициента k1 принимать среднее значение из полученных двумя способами. Следует заметить, что коэффициенты статистической линеаризации можно трактовать следующим образом:
k0 – статистический коэффициент передачи нелинейного элемента по полезному сигналу,
k1 - статистический коэффициент передачи нелинейного элемента по флуктуациям.
7.2. Исследование точности нелинейных систем
В предыдущем параграфе рассматривалась
система без памяти, т.е. такая сиссистема,
в которой выходной сигнал Y
в некоторый момент
времени t полностью
определяется входным сигналом X
в этот же момент времени. Поэтому
для нелинейных систем без памяти связь
между входным и выходным сигналами
задается соотношением
(рис.7.1,а)
или в более общем виде
,
отвечающим схеме с обратной связью,
например,
(рис.7.1,б).
Рис.7.1. Структурные схемы систем без памяти
Под нелинейными системами с памятью
понимаются такие системы, в которых
выходной сигнал Y(t)
в момент t
зависит не только от входного сигнала
X(t)
в тот же момент времени, но и от его
значения в другие моменты времени.
Возможные структурные схемы нелинейных
систем с памятью при одном нелинейном
элементе приведены на
Рис.7.2 Структурные схемы систем с памятью
При применении метода статистической
линеаризации передаточные функции
нелинейных звеньев систем, приведенных
на рис.7.2 (
),
имеют вид
.
(7.6)
Приведем методику определения математического ожидания и дисперсии сигналов на выходе систем при линеаризации нелинейного звена.
Схема рис.7.2,а( система без обратной связи)
Сигнал на выходе нелинейного звена
определится как
.
При этом
,
.
Математическое ожидание и дисперсия
сигнала X1
определятся как:
,
.
Линейная связь между сигналами X1 и Y может быть представлена в виде:
или
.
Но
.
Следовательно,
и спектральная плотность процесса на
выходе системы определится как:
Отсюда находим искомые числовые характеристики процесса на выходе системы:
,
.
Интеграл в выражении для дисперсии целесообразно вычислять с помощью теории вычетов.
Схема рис.7.2,б ( система с обратной связью)
Сигнал
.
Связь между сигналом X1
и Y линейна:
.
Линеаризованная связь между Y
и X2
имеет вид
.
Коэффициенты линеаризации определются
как
,
.
Так как
,
,
то
,
.
Математическое ожидание процесса на
выходе рассматриваемой системы
определится как:
или
.
(7.7)
В уравнение (7.7) входят две неизвестные искомые величины – mY и Y. Второе уравнение получим, рассматривая процесс передачи флуктуаций сигнала на входе:
или
.
Используя понятие спектральной плотности входного сигнала, получим выражение для искомой дисперсии на выходе системы:
.
(7.8)
Совместное решение уравнений (7.7) и (7.8) позволит определить искомые числовые характеристики процесса на выходе рассматриваемой системы - mY и
Y.
Схема рис.7.3,в.
Сигнал на входе нелинейного элемента
определяется как
.
Процесс на выходе этого элемента при
его линеаризации
На выходе системы
.
Математическое ожидание процесса на
выходе системы определится из выражения:
,
.
(7.9)
Центрированный процесс на выходе системы определится как:
.
Из последнего выражения следует:
.
Используя понятие спектральной плотности входного сигнала, получим выражение для дисперсии процесса на выходе системы:
.
(7.10)
Из (7.9) и (7.10) видно, что математическое ожидание и дисперсия процесса на выходе системы зависят от числовых характеристик процесса на входе нелинейного звена X1(t).
Математическое ожидание этого процесса определится как
.
(7.11)
Для определения
получим
выражение для операторного изображения
центрированного процесса
:
Дисперсия процесса
определится как:
.
(7.12)
Из уравнений (7.11) и (7.12) определяются
,
а затем из выражений (7.9) и (7.10) искомые
числовые характеристики процесса Y(t).
Схема рис.7.3,г.
В этой схеме
,
,
.
Математическое ожидание процесса на выходе системы определится как:
.
(7.13)
Центрированный процесс на выходе системы будет:
и, соответственно, дисперсия на выходе системы определится как:
.
(7.14)
Для определения
и
по (7.13) и (7.14) необходимо определить
и
.
Эти числовые характеристики процесса
определяются из двух уравнений:
,
(7.15)
.
(7.16)
Примеры. Рассмотрим процессы в
схемах с памятью без обратной связи
(рис.7.3,а) и с обратной связью (рис.7.3,в).
Процесс на входе этих систем примем
стационарным и нормальным при mX=0
(
).
Спектральная функция этого процесса
аппроксимируется выражением
(
).
Н
елинейное
звено описывается выражением
(рис.7.4)
Линейное звено в рассматриваемых
системах является интегрирующим контуром
(цепочка R–C),
передаточная функция которого записывается
как
,
.
Рис.7.4
Схема рис.7.3,а.(
,
).
=
(
интеграл вероятности или функция
Лапласа). Коэффициенты линейной
аппроксимации нелинейного звена рис.7.4
определятся
как
,
(7.17)
.
(7.18)
Математическое ожидание и спектральная плотность процесса на выходе системы определятся как:
.
(7.19)
.
Дисперсия процесса на выходе системы будет:
.
Беря интеграл с помощью теории вычетов в левых полюсах подынтегральной
функции, получим
.
Схема рис.7.3,в.При линеаризации нелинейного звена процессы на его выходе и на выходе всей системы в целом будут нормальными, так как по условию задачи процесс на входе системы представляет собой нормальный стационарный процесс. Поэтому
,
.
При этом коэффициенты линеаризации нелинейного звена запишутся в виде:
,
.
(7.20)
Но
.
Следовательно,
,
.
Математическое ожидание процесса на выходе системы будет:
.
(7.21)
Операторное изображение центрированного процесса на выходе системы записывается в виде:
.
Спектральная плотность на выходе системы будет:
.
(7.22)
Беря оригинал от выражения (7.22) с помощью определения вычетов в его левых полюсах, получаем выражение для дисперсии процесса на выходе линеаризованной системы:
.
(7.23)
В (7.23) входит коэффициент линеаризации k1. Составим уравнение для его определения. Дисперсия на входе нелинейного звена определяется как:
.
Следовательно,
. (7.24)
Таким образом, из (7.24) при известных параметрах корреляционной функции процесса на входе системы (параметр ) и передаточной функции линейного звена (параметр ) определяется коэффициент линеаризации k1, а затем из (7.23) – DY.