2.2 Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними (рис. 2.17):

(2.12)

Согласно определению проекции вектора на вектор, можно записать

Свойства скалярного произведения.

Если то либо либо либо И наоборот: если или или то

Если острый, то если тупой, то

(  скалярный квадрат вектора).

 любое действительное число.

Пример 2.3. Вывести формулы:

Решение.

Остальные формулы получаются аналогично.

Приведем таблицу скалярного умножения векторов базиса

Если то

(2.13)

а косинус угла между этими векторами можно найти по формуле:

(2.14)

Условие ортогональности векторов запишется в виде

(2.15)

Пример 2.4. При каком вектор ортогонален вектору

Решение. Из условия ортогональности (2.15) следует

т.е. откуда

Пример 2.5. Дан вектор и две точки и Найти если

Решение. следовательно

Пример 2.6. Даны три точки Найти

Решение.

т.е.

2.3 Векторное произведение

О пределение. Векторным произведением называется вектор который определяется так (рис. 2.18):

1) т.е. модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах и

2) ортогонален и

3) Упорядоченная тройка является правой, если выбрана правая система координат и левой, если выбрана левая.

Свойства векторного произведения.

если либо либо либо

И наоборот, если или или то

- действительное число;

Представим таблицу векторного умножения векторов

Если то

(2.16)

Площадь параллелограмма и треугольника построенных на векторах и (рис. 2.18), находятся по формулам

(2.17)

Пример 2.7. Найти площадь треугольника с вершинами

Решение.

Но поэтому

Пример 2.8. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и в плоскости

Решение. Всякий вектор плоскости можно считать вектором пространства при условии, что Т.к. то

т.е.

2.4 Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор т.е.

Если то, согласно формулам скалярного и векторного произведений в координатной форме (2.13), (2.16), получим:

(2.18)

Свойства смешанного произведения.

Если поменять местами знаки и , то смешанное произведение не изменится, и для краткости его обозначают

Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке векторов:

Смешанное произведение меняет знак, если поменять местами любые два вектора:

Если какой-либо из векторов нулевой, или же какие-либо два коллинеарны, то

Условие компланарности векторов в координатной форме. Для того, чтобы были компланарны, необходимо и достаточно равенство нулю их смешанного произведения:

(2.19)

Геометрический смысл смешанного произведения. Пусть некомпланарны. Приведем их к общему началу и построим на них, как на ребрах, параллелепипед (рис. 2.19).

Рассмотрим вектор модуль которого равен площади параллелограмма, лежащего в основании параллелепипеда: Если угол между и острый, то высота параллелепипеда и его объем равны:

Если же тупой, то и тогда .

Угол острый, если ориентированы так же, как и (либо обе тройки правые, либо обе левые), т.е. так же, как и оси системы координат. Итак, если векторы ориентированы так же, как векторы базиса и если ориентация этих троек разная, но в любом случае

(2.20)

Пример 2.9. Доказать, что четыре точки лежат в одной плоскости.

Рассмотрим Поскольку то векторы компланарны, а т.к. они исходят из точки то все четыре точки лежат в одной плоскости.

Пример 2.10. Найти объем пирамиды с вершинами в точках

Решение. Рассмотрим

Т.к. то объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен Как известно из элементарной геометрии, искомый объем пирамиды равен т.е.