3.6 Кривые второго порядка
Вернемся на координатную плоскость
Определение. Кривой второго порядка называется линия, которая определяется уравнением второй степени относительно и
(3.21)
где
- действительные числа
Подробное исследование вида и расположения кривых в зависимости от коэффициентов уравнения (3.21) опустим, ограничившись рассмотрением этих кривых для случаев их симметричного расположения относительно координатных осей.
1
.
Эллипсом называется геометрическое
место точек плоскости, сумма расстояний
до каждой из которых от двух заданных
точек этой же плоскости, называемых
фокусами, есть величина постоянная (при
условии, что она больше расстояния между
фокусами).
Пусть расстояние между фокусами эллипса
и
равно
Если поместить фокусы в точки
и
то эллипс (рис. 3.15) опишется каноническим
уравнением
(3.22)
где
некоторые числа,
(
любая точка эллипса).
Оси симметрии
и
называются осями эллипса (
фокальная ось),
точка
центром эллипса.
Точки
пересечения эллипса с осями называются
его вершинами, отрезки
и
большой и малой
осями (числа
большой и малой
полуосями). Величина
называется эксцентриситетом эллипса,
причем
Частным случаем эллипса при
является окружность
с центром в начале координат и радиусом
В общем случае окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки этой же плоскости (центра окружности).
2. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний от двух заданных точек этой плоскости (фокусов) есть величина постоянная (при условии, что она не равна нулю и меньше расстояния между фокусами).
П
усть
расстояние между фокусами
Поместим фокусы в точки
и
тогда гипербола (рис. 3.16) опишется
каноническим уравнением
(3.23)
где
некоторые числа,
(
любая точка
гиперболы).
Гипербола имеет оси симметрии
и
(
фокальная ось).
Точка
называется центром гиперболы, точки
ее вершинами,
отрезки
и
действительной и
мнимой осями (числа
действительной и
мнимой полуосями). Величина
называется эксцентриситетом гиперболы,
причем
Прямые
к которым ветви гиперболы неограниченно
приближаются при удалении от ее центра,
называются асимптотами гиперболы.
Прямоугольник со сторонами, параллельными
осям симметрии, изображенный на рис.
3.16, называется основным и характеризует
форму гиперболы.
3. Параболой называется геометрическое
место точек плоскости, равноудаленных
от данной точки
,
называемой фокусом, и от данной прямой,
называемой директрисой (при условии,
что фокус не лежит на директрисе).
Выберем систему координат так, чтобы ось проходила через фокус перпендикулярно директрисе, а начало координат находилось посредине между фокусом и директрисой (рис.3.17).
О
бозначим
расстояние от директрисы до фокуса
(параметр параболы) через
Тогда
уравнение директрисы:
а сама парабола опишется каноническим
уравнением
(3.24)
называется фокальной осью, а точка вершиной параболы.
Конические сечения.
О
пределение.
Круговым конусом называется поверхность,
получающаяся при вращении прямой вокруг
пересекающей ее другой прямой - оси
вращения. Точка пересечения вращающейся
прямой с осью называется вершиной
конуса, а сама вращающаяся прямая в
каждом своем положении называется
образующей конуса. Конус состоит из
двух полостей, которые разделены вершиной
(рис.3.18).
Окружность, эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями, т.к. они являются сечениями кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину (рис.3.18).
В сечении получится окружность, если плоскость перпендикулярна оси конуса.
В сечении будет эллипс, если плоскость не перпендикулярна оси конуса, при этом пересекает только одну полость и не параллельна ни одной из образующих.
В сечении гипербола, если плоскость пересекает обе полости.
В сечении парабола, если плоскость пересекает лишь одну полость и при этом параллельна какой-либо образующей.