3.7 Поверхности второго порядка

Поверхность второго порядка в пространстве в общем случае определяется уравнением второй степени относительно аналогичным (3.21). Опуская это уравнение, ограничимся лишь перечислением поверхностей второго порядка и представлением их канонических уравнений для соответствующих случаев симметрии.

1. Эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры (рис. 3.19, 3.20, 3.21) определяются в пространстве уравнениями, соответственно:

1) 2) 3) (3.25)

 действительные числа.

Заметим, что уравнения не содержат координату , т.е. образующие этих цилиндров параллельны , а сечение их плоскостью, перпендикулярной этой оси, является, соответственно, эллипсом, гиперболой и параболой.

2. Конус второго порядка (рис. 3.22):

(3.26)

числа будем считать положительными.

З аметим, что сечение этого конуса плоскостью, перпендикулярной оси и находящейся на расстоянии от начала координат, представляет собой эллипс с полуосями и .

3. Эллипсоид (рис. 3.23):

(3.27)

Положительные числа называются полуосями эллипсоида. При эллипсоид является сферой радиуса

4. Однополостный гиперболоид (рис. 3.24):

(3.28)

числа считаем положительными.

5. Двуполостный гиперболоид (рис. 3.25):

(3.29)

числа считаем положительными.

6 . Эллиптический параболоид:

(3.30)

 действительные числа одного знака.

Рис. 3.26 соответствует случаю

7. Гиперболический параболоид:

(3.31)

 действительные числа одного знака. Рис. 3.27 соответствует случаю

Сечения представленных поверхностей плоскостями, параллельными координатным плоскостям, читателю предлагается рассмотреть самостоятельно.

Глава 4 расчетно-графическая работа

Глава содержит некоторые типичные задачи, относящиеся к материалу, изложенному в предыдущих главах. Сначала представлены общие формулировки каждой из этих задач и даны образцы их решений в конкретных примерах. Если задача уже разбиралась ранее, то указывается соответствующая ссылка. Далее следуют варианты заданий для самостоятельного решения, относящиеся ко всем разобранным задачам.

Образцы решений задач

Элементы теории систем линейных уравнений, матриц и определителей.

1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса (образцы решений линейных систем различных типов содержатся в примерах 1.7-1.9).

2. Вычислить определитель четвертого порядка:

а) с помощью разложения по элементам любой строки (образец решения дан в примере 1.14, при этом метод вычисления соответствующих определителей 3-го порядка см. на примере 1.10 п.2);

б) с помощью разложения по элементам любого столбца;

в) с помощью преобразования исходной матрицы в матрицу треугольного вида (см. решение примера 1.15).

3. Решить систему линейных уравнений с помощью правила Крамера.

Пример 4.1.

Решение. Согласно формулам (1.7) запишем:

,

.

.

4. Самостоятельно выбрать три квадратные матрицы третьего порядка и проверить справедливость предлагаемых равенств.

Пример 4.2. Проверить справедливость равенства для матриц:

Решение. Вычислим элементы матрицы

,

затем .

Элементы матрицы получены так:

элементы первого столбца	элементы второго столбца
элементы третьего столбца

Теперь вычислим

,

т.е. равенство выполняется.

5. Записать систему линейных уравнений п.3 в виде матричного уравнения и решить ее методом обратной матрицы. Сравнить результат с результатом, полученным по правилу Крамера.

Пример 4.3. Рассмотрим систему из разобранного примера 4.1. Ее матричная запись будет такой: где

.

Решение. Поскольку определитель матрицы отличен от нуля: то решение в матричной форме имеет вид Найдем обратную матрицу Для этого найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы :

				;
				;
				.

Составим матрицу

, тогда ;

откуда ,

т.е. результат совпадает с тем, который был получен по правилу Крамера.

6. Решить матричные уравнения где  заданные квадратные матрицы второго порядка, а – неизвестные матрицы.

Пример 4.4. .

Решение. Поскольку определитель  отличен от нуля, то решение первого и второго уравнений имеют вид а так как то решением третьего уравнения будет .

;

;

;

;

.

Элементы векторной алгебры

7. Указать значения величин и β, при которых векторы и коллинеарны.

Пример 4.5. ; .

Решение. Условием коллинеарности и является , т.е. пропорциональность координат и :

, откуда , . Заметим, что при этом , т.е.

8. Треугольник АВС задан своими вершинами. Найти :

а) длину медианы АМ, проведенной из вершины А;

б) угол между медианой АМ и стороной АВ;

в) координаты точки Е пересечения медиан треугольника.

П режде чем изложить решение соответствующего примера, рассмотрим задачу о делении отрезка в заданном отношении, которая заключается в следующем . Пусть даны две точки и . Требуется найти координаты точки , расположенной на отрезке А₁А₂ и делящей этот отрезок в заданном отношении

Считая ₁ > 0, ₂ > 0, можно записать , откуда , или, в координатной форме:

.

Выразив из этих соотношений будем иметь:

. (4.1)

Заметим, что если обозначить  = ₁/₂ , то справедливы равенства:

. (4.2)

Теперь рассмотрим пример решения задачи данного пункта.

Пример 4.6.

Р ешение. Поскольку АМ – медиана, т.е. то в силу соотношений (4.2) координаты представляют собой полусуммы соответствующих координат точек В и С:

,

откуда , т.е. .

Найдем координаты вектора вычитанием из координат точки М соответствующих координат точки А:

; .

Длина медианы АМ есть .

Искомый угол  между медианой АМ и стороной АВ – это угол между и , причем , т.е. , ,

,

.

Как известно, точка пересечения медиан делит медиану АМ в отношении поэтому, согласно формулам (4.2), получим:

, т.е.

,

следовательно .

9. Установить, лежат ли четыре точки в одной плоскости (см. решение примера 2.9)

10. Треугольная пирамида задана своими вершинами . Найти:

а) площадь грани

б) объем пирамиды;

в) высоту пирамиды, опущенную из вершины на грань

Пример 4.7. .

Р ешение. Рассмотрим векторы и .

Площадь S треугольника АВС найдем с помощью векторного произведения и

.

Так как

то .

Объем пирамиды вычислим с помощью модуля смешанного произведения _, и :

, где .

Поскольку , то высоту найдем из соотношения

.

11. Найти , и угол между и , если заданы разложения и по векторам и , а также заданы , и угол _pq между и .

Пример 4.8. ; ; ; ;

Решение. Найдем

.

Вычислим:

В результате: ;

; .

12. Показать, что тройка векторов , заданных своими координатами в базисе сама является базисом. Найти координаты вектора в базисе

Пример 4.9. , , , .

Решение. Рассмотрим смешанное произведение

. Так как оно отлично от нуля, то векторы , , не являются компланарными, а значит составляют базис.

Искомыми координатами в этом базисе являются коэффициенты , , разложения

т.е. .

Указанные коэффициенты находятся из системы линейных уравнений:

Решив эту систему любым известным способом, например, по правилу Крамера, получим единственное решение т.е. .

Аналитическая геометрия

13. На плоскость заданы три точки Составить каноническое, общее и приведенное уравнения:

а) прямой проходящей через две точки и

б) прямой проходящей через точку параллельно

в) прямой проходящей через точку перпендикулярно .

Пример 4.10. .

Решение.

а) Поскольку прямая проходит через точку и определяется направляющим вектором , то её каноническим уравнением будет откуда легко получить соответственно общее и приведенное уравнения:

б) Прямая , проходя через точку C, имеет тот же направляющий вектор поэтому её каноническим, общим и приведенным уравнениями будут, соответственно:

в) Составим вектор , который заведомо будет ортогонален поскольку . Для прямой проходящей через точку с направляющим вектором , каноническим, общим и приведенным уравнениями будут:

14. На плоскости даны две прямые и Если они пересекаются, то найти координаты точки их пересечения и угол между прямыми (образец решения содержится в примере 3.7 и в предлагаемом примере 4.11).

Пример 4.11. .

Решение. Рассмотрим систему двух линейных уравнений

или

Её определитель отличен от нуля: она имеет единственное решение т.е. прямые пересекаются в точке .

Записав приведенные уравнения прямых и

,

найдем тангенс угла между и через их угловые коэффициенты и :

, (этот угол острый).

Заметим, что задачу можно решить, вычислив косинус угла между направляющими векторами прямых ; или косинус угла между их нормальными векторами ; . В последнем случае будем иметь

,  этот угол является тупым и соответствует направлениям векторов изображённых на рисунке 4.4. Если нас интересует острый угол , то его можно найти из соотношения

Заметим также, что угол всегда будет острым, если указанные выше выражения для его тангенса или косинуса брать по модулю.

15. В пространстве даны четыре точки

а) Составить уравнение плоскости содержащей три точки

б) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку D параллельно плоскости

в) Найти расстояние между плоскостями и

Образцы соответствующих решений содержатся в примерах 3.13, 3.15.

1 6. Даны две плоскости и Найти угол между ними (образец решения см. в примере 3.14).

17. Даны две плоскости и а также точка Составить уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно обеим плоскостям и

Пример 4.12. .

Решение. Пусть  вектор нормали к плоскости Поскольку эта плоскость проходит через точку то уравнением плоскости будет:

Так как и то ортогонален векторам нормалей и к плоскостям и поэтому в качестве можно взять векторное произведение и :

.

Таким образом, и уравнением плоскости будет: , т.е.

18. В пространстве составить канонические и общие уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и (образец решения содержится в примере 3.17).

19. Даны две плоскости Составить канонические уравнения прямой – линии их пересечения (образец решения содержится в примере 3.16).

20. В пространстве заданы своими каноническими уравнениями две прямые и , а также задана точка .

а) Составить канонические уравнения прямой проходящей через точку перпендикулярно обеим прямым и

б) Составить уравнение плоскости проходящей через точку параллельно обеим прямым и

Пример 4.13

Решение. а) Поскольку направляющий вектор ортогонален обеим прямым, т.е. их направляющим векторам и , то в качестве выберем

.

Каноническими уравнениями прямой будут: т.е.

.

б) Направляющий вектор прямой одновременно является вектором, нормальным к плоскости поэтому уравнение этой плоскости имеет вид:

, т.е. .

21. В пространстве задана прямая и плоскость Найти угол между ними и координаты точки их пересечения (образец решения содержится в примере 3.19).

22. Задана плоскость и точка Найти координаты проекции точки на плоскость

Пример 4.14. .

Р ешение. Рассмотрим прямую , проходящую через точку и её проекцию на плоскость Так как направляющий вектор этой прямой является нормальным вектором к плоскости т.е. то каноническими уравнениями будут:

Чтобы найти координаты точки пересечения с плоскостью следует решить систему линейных уравнений

или

Такую систему можно решать любым известным способом, но заметим, что её очень легко решить, используя вместо канонических параметрические уравнения прямой (см. также решение примера 3.19)

Подставляя из первых трех уравнений в четвертое, получим откуда . Подставляя это значение в первые три уравнения, получим координаты точки :

т.е.