- •Глава 5. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Т еперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •Упражнения
§3. Бесконечные величины и предел функции
Пусть в некотором процессе наблюдается переменная величина х, значения которой становятся сколь угодно малыми по абсолютной величине, т. е. для любого малого положительного числа а наступает момент, начиная с которого все значения х становятся меньше, чем а по абсолютной величине: |х| < a . Такая величина х называется бесконечно малой величиной, при этом говорят также, что х стремится к нулю, и используют запись х 0.
Пусть b некоторое число, х переменная величина и разность (х b) есть бесконечно малая величина (в рассматриваемом процессе), тогда говорят, что х стремится к b или b есть предел х, при этом используют записи:
х b или lim x = b. Если х b и х > b, то говорят, что х стремится к b справа, и пишут х b + 0. Если х b и х < b, то говорят, что х стремится к b слева, и пишут х b 0.
Пусть в некотором процессе значения переменной величины Х становятся сколь угодно большими по абсолютной величине, т. е. для любого положительного числа А наступает момент в этом процессе, начиная с которого все значения Х становятся больше, чем А по абсолютной величине, т. е. | Х | >A . Такая величина Х называется бесконечно большой величиной, при этом говорят также, что Х стремится к бесконечности и используют запись Х Если Х и Х > 0, то говорят, что Х неограниченно возрастает, и пишут Х если Х и Х < 0, то говорят, что Х неограниченно убывает, и пишут Х
Пусть символы 0, а, обозначают бесконечно малую, ограниченную и
бесконечно большую величины, соответственно. Тогда свойства бесконечных величин описываются следующими символическими равенствами:
Теперь, пусть +0, 0, +обозначают соответственно положительные и отрицательные бесконечно малые и бесконечно большие величины, и а положительная ограниченная величина. Тогда выполняются дополнительные свойства:
Кроме того, некоторые свойства бесконечных величин указаны выше, как свойства показательной и логарифмической функций:
4). Если а > 1, то а , а loga = , loga(+0) = .
5). Если 0 < а <1, то а +, а loga = , loga(+0) = .
С ледующие действия над бесконечными величинами не попали в рассмотренные пункты 1) 5). Они образуют так называемые неопределенности:
С помощью теории пределов в каждом конкретном случае эти неопределенности получают некоторые значения. Нахождение этих значений называется раскрытием неопределенностей.
О пределение 8. Пусть функция f(x) определена в окрестности точки а и х а. Тогда пределом функции f(x) при х а называется постоянное число b такое, что разность f(x) – b есть бесконечно малая величина при х а, обозначение:
Свойства пределов
1). Если предел функции существует, то он единственный.
2). Предел постоянной функции равен значению этой функции:
lim с = с.
3). Предел суммы функций равен сумме пределов этих функций:
lim(f(x) + g(x)) = limf(x) + limg(x).
4). Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim (сf(x)) = сlimf(x).
5). Предел произведения функций равен произведению пределов функций:
lim(f(x) g(x)) = limf(x) limg(x).
6). Предел отношения функций равен отношению пределов функций:
lim(f(x) : g(x)) = limf(x) : limg(x).
При этом подразумевается, что в пунктах 3) – 6) пределы функций, сто-ящие в правой части, существуют, и в пункте 6 предел знаменателя не равен 0.
7 ). Если в некоторой окрестности точки а для все х, кроме, быть может, х = а, функции f(x) и g(x) равны и существует limg(x) при х а, то существует lim f(x) при х а, и эти пределы равны между собой:
8). Если функция f(x) монотонно возрастает при х а и ограничена, то она имеет предел при х а.
В следующих примерах показано применение этих свойств, при вычислении пределов.
П ример 9. Вычисление пределов.
Н о сразу сокращать на (х 4) нельзя, сначала избавляются от иррациональности в числителе. Для этого числитель умножается на сопряженное иррациональное выражение, и чтобы дробь не изменилась, знаменатель тоже умножается на это выражение. Затем полученная дробь преобразуется:
Здесь х , поэтому числитель и знаменатель делятся почленно на старшую степень х, затем применяют свойство: 1/ = 0.
Ответ: .