10.3. Уравнение Шрёдингера
Как уже отмечалось, волновая функция микрочастицы содержит всю информацию о ее корпускулярно-волновых свойствах. Поэтому основной задачей квантово-механического описания состояния микрочастицы является нахождение ее волновой функции. А для этого необходимо иметь уравнение, из решения которого при заданных условиях эту функцию можно определить. Поскольку для описания наблюдаемой на опыте интерференционной картины необходимо производить сложение волновых функций, а не квадратов их модулей, то это уравнение должно быть уравнением относительно самой волновой функции, а не квадрата ее модуля. При этом важное значение имеет фаза волны, так как разность фаз волновых функций определяет результат интерференции в любой точке. Поэтому искомое уравнение должно быть волновым уравнением, так как только из такого уравнения можно получить объяснение наблюдаемых на опыте волновых свойств микрочастиц. Это уравнение было открыто Э. Шрёдингером в 1927 г. И имеет вид
(9.6)
где
– волновая функция микрочастицы,
– мнимая единица,
– оператор
Гамильтона (гамильтониан), m
– масса частицы,
U(x,
y, z,
t)
– потенциальная энергия частицы во
внешнем силовом поле, ∆
– оператор Лапласа. Уравнение (7.)
называется общим или временным уравнением
Шрёдингера. Все характеристики движущейся
микрочастицы в квантовой механике
получаются из решения этого уравнения.
Конкретные задачи различаются видом
зависимости потенциальной энергии от
координат и времени. В классическом
пределе полагают
Тогда из уравнения Шрёдингера следует,
что
или
Это
означает, что понятие волновой функции
является чисто квантовым понятием и
для описания состояния макротел оно не
применяется.
Уравнение
Шрёдингера представляет собой линейное
и однородным дифференциальным уравнением
в частных производных второго порядка.
Из линейности уравнения Шрёдингера
следует важное в физическом отношении
заключение: если функции
– некоторые частные решения уравнения
(7.), то и любая их линейная комбинация
тоже является возможным решением этого
уравнения. Это соотношение выражает
собой принцип суперпозиции состояний
в квантовой механике: если в данных
условиях возможны различные состояния
микрообъекта, описывающиеся волновыми
функциями
,
то возможно и состояние микрообъекта,
описывающееся линейной комбинацией
этих функций.
Заметим,
что временное уравнение Шрёдингера,
как и классические уравнения движения,
инвариантно по отношению к замене t
на – t,
если при этом одновременно заменить
и i
на – i. Такая замена
равносильна замене волновой функции
на комплексно сопряженную функцию
.
Но это не имеет значения, так как
вероятности процесса (а именно они имеют
значение) определяются квадратами
модулей волновых функций, а они при
такой замене не изменяются.
Очень важным в практическом отношении случаем квантовых состояний являются состояния с независящей от времени полной энергии Е микрочастицы. Такие состояния реализуются, когда микрочастица движется во внешнем стационарном силовом поле (т.е. когда потенциальная энергия микрочастицы не зависит от времени), и называются стационарными состояниями. Волновая функция таких состояний имеет вид
Подставляя
это выражение во временное уравнение
Шредингера, получим уравнение для
координатной части
волновой функции:
или
Это уравнение называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Для решения квантовомеханических задач это уравнение удобно записать в виде
