10.2. Волновая функция микрочастицы

В классической механике для описания движения частицы задают ее координаты x, y, z и соответствующие проекции импульса p_x, p_y, p_z. Для микрочастиц такой способ описания движения не применим, так как согласно соотношениям неопределенностей указанные величины одновременно не имеют определенных значений. Поэтому описание движения микрочастиц должно принципиально отличаться от классического и учитывать их двойственную корпускулярно-волновую природу.

Основным постулатом квантовой механики является утверждение о том, что состояние микрочастицы в квантовой механике полностью определяется ее волновой функцией. В случае свободного движения микрочастицы вдоль оси X волновая функция волновая функция имеет вид плоской волны и определяется формулой (7.3). локализации свободной частицы все бесконечное пространство. Если частица не свободна, а движется во внешнем силовом поле, то и в этом случае ее движение описывается некоторой комплексной Ψ-функцией, вид которой определяется видом потенциальной энергии частицы. С движением всякой свободной микрочастицы (когда потенциальная энергия частицы равна нулю), де Бройль связал плоскую волну

(9.2)

(предполагается, что микрочастица движется вдоль оси X). При этом ее частота и волновое число k связаны с энергией E и импульсом p микрочастицы соотношениями

(9.2)

С учетом (7.2) плоская волна, сопоставляемая свободному движению микрочастицы, может быть записана в виде

(9.3)

Функцию называют волновой или просто (пси)-функцией.

М. Борн дал статистическую трактовку волновой функции, согласно которой квадрат модуля волновой функции, т.е. величина определяет вероятность¹ обнаружения микрочастицы в точке в момент времени t. Таким образом, физическим смыслом обладает не сама волновая функция, а квадрат ее модуля. Сама волновая функция, будучи комплексной, является величиной неизмеримой, и поэтому физического смысла не имеет. Квадрат модуля волновой функции является действительной величиной. Полагается, что квадрат модуля волновой Ψ-функции определяет вероятность обнаружения микрочастицы в некоторой точке пространства в некоторый момент времени t. Но вероятность обнаружить микрочастицу точно в данной точке пространства исчезающе мала, поэтому имеет смысл говорить лишь о вероятности ее попадании в малый (элементарный) объем dV, окружающий эту точку. Эта вероятность, очевидно, должна быть пропорциональна величине объема, так что Функция , связывающая таким образом элементарную вероятность с элементарным объемом dV, называется плотностью вероятности. Поэтому величина представляет собой плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства в данный момент времени. Саму волновую -функцию часто называют амплитудой вероятности. Термин «амплитуда» применяется для того, чтобы подчеркнуть необходимость возведения в квадрат модуля -функции, подобно тому как для определения интенсивности волны (а именно интенсивности волны соответствует указанная выше вероятность) нужно возвести в квадрат амплитуду волны¹.

Вероятность обнаружения частицы в объеме V можно найти, проинтегрировав по этому объему вероятность dp обнаружения частицы в элементарном объеме dV:

В одномерном случае можно определить вероятность того, что частица находится в пределах отрезка от x₁ = a до x₂ = b:

Заметим, что для свободной частицы вероятность обнаружения ее в любой точке пространства в любой момент времени одинакова: p ~ Так и должно быть, ибо вследствие однородности пространства и времени для свободной частицы ни одна точка пространства и ни один момент времени ничем не выделены. Поэтому и вероятность ее обнаружения должна быть всюду и всегда одинаковой. Именно это обстоятельство и требует, чтобы волновая функция, описывающая распространение волны де Бройля, связанной со свободно движущейся частицей, обязательно была бы комплексной. Тот факт, что свободная частица с равной вероятностью может быть обнаружена в любой точке пространства, согласуется и с соотношением неопределенностей координата-импульс. Действительно, у свободной частицы проекции импульса фиксированы, а значит, их неопределенности равны нулю. Но тогда неопределенности координат будут равны бесконечности – местоположение частицы оказывается совершенно не определенным.

Поскольку вероятность обнаружить микрочастицу в момент времени t где-либо в бесконечном пространстве как вероятность достоверного события равна единице (если частица существует, то она обязательно где-нибудь находится), то и тогда

(9.4)

Соотношение (9.5) выражает собой так называемое условие нормировки волновой функции. Чтобы интеграл в (9.5) не расходился и условие (9.5) выполнялось, необходимо, чтобы волновая функция на бесконечности стремилась к нулю

:

Зная волновую функцию можно определить среднее значение какой-либо физической величины L в состоянии с волновой функцией

Интегрирование проводится по всей области изменения переменных x, y, z.

В квантовой механике каждой физической величине L ставится в соответствие оператор определяемый соотношением

(9.5)

Значения L = L₁, L₂, L₃, …, при которых выполняется это соотношение, называются собственными значениями параметра , а соответствующие им функции – собственными функциями. Введя понятие оператора с учетом соотношения (9.6), для среднего значения величины L можно записать

Из всего сказанного следует, что волновая функция, введенная на основе концепции корпускулярно-волновой природы материи, является основной характеристикой микрообъекта. Она определяет физическое состояние микрообъекта в квантовой механике. Это утверждение является основным постулатом квантовой механики. Вся информация о корпускулярных и волновых свойствах микрообъекта содержится в его волновой функции. Тот факт, что эта функция определяет состояние микрообъекта, будучи комплексной, а значит, и неизмеримой величиной, является особенностью квантовой механики. В классической механике все величины, описывающие состояние частицы или системы частиц являются величинами измеримыми.