Глава 3 Цепи с соединением r, l, c

В цепях переменного тока существует:

- активное сопротивление R;

- реактивное сопротивление Х.

- полное сопротивление Z

Напомним основные соотношения между ними в комплексной форме:

‌‌ Z = R + jX

φ = arctg X/R R = Z cos φ X = Z sin φ

Для наглядности можно это представить в виде треугольника сопротивлений (рисунок 2.10).

Реактивное сопротивление Х делится на индуктивное Х_L и ёмкостное X_C:

Х = Х_L-X_C = ωL - 1/ωC

Для катушки: - Х = Х_L= ωL

Для конденсатора: Х = - Х_С = - 1/ωC

В комплексной форме реактивное сопротивление:

Z = jX = j(Х_L-X_C)

На рисунке для примера реактивное сопротивление и угол φ показаны положительными (индуктивное сопротивление). При ёмкостном сопротивлении вектор Х будет направлен вниз.

Закон Ома: Ú = İ Z

φ = ψ_u-ψ_i – сдвиг фаз между током и напряжением.

Замечание во избежание путаницы в определениях. Все величины – и токи, и напряжения и сопротивления являются комплексными и имеют действительную и мнимую части. Но термины «активный» и «реактивный» обычно относятся только к сопротивлениям.

В ряде случаев, как и для постоянного тока, используют понятия проводимости. В цепях переменного тока она также может содержать активную (действительную) и реактивную (мнимую) составляющие.

G = 1/R – активная проводимость;

B = 1/X – реактивная проводимость;

Y = 1/Z – полная проводимость;

Y = 1/Z – комплексная проводимость.

Все соотношения такие же, как для сопротивлений, за исключением знака «минус». Треугольник проводимостей показан на рисунке 2.11.

Y = G - jB

φ = arctg (B/G)

G = Y cos φ

B = Y sin φ

Используя полученные соотношения, рассмотрим несколько более сложные цепи, содержащие и активные и реактивные элементы.

Последовательное соединение R и L

На рисунке 2.12 показана цепь с последовательным соединением резистора R и катушки L.

Пусть ток в цепи равен i_L(t) = I_m sin (ωt + ψ_i)

Комплекс тока: İ = I e^jψi

Полное сопротивление цепи: Z = R + jωL = Z e^jφ ,

где φ = arctg (X/R) = arctg (ωL/R)

Треугольник сопротивлений показан на рис. 2.13.

По закону Ома Ú = İ Z = I e^jψi Z e^jφ = IZ e^{j(ψi +φ)}

Ú = U e^jψu

Таким образом: U = I Z, ψ_u = ψi + φ

Напряжение в цепи опережает ток на угол φ.

Напряжение в цепи равно сумме напряжений на резисторе U_R и на катушке U_L. Рассчитаем их.

Ú = U e^{j(ψi +φ)} = U cos (ψi +φ) + j U sin (ψi +φ)

Если принять для простоты ψ_i = 0, то

Ú = U e^jφ = U cos φ + j U sin φ = U_R + U_L

U_R = U cos φ

U_L = U sin φ

Векторная диаграмма тока и напряжений показана на рисунке 2.14.

Последовательное соединение R и C

На рисунке 2.15 показана цепь с последовательным соединением резистора R и конденсатора C.

В этой цепи все выводы аналогичны цепи последовательного соединения R и L, с той разницей, что реактивное сопротивление равно Х_с вместо Х_L,

Ток в цепи равен i_L(t) = I_m sin (ωt + ψ_i), İ = I e^jψi

Полное сопротивление цепи: Z = R – j/ωС = Z e^-jφ ,

где φ < 0, модуль│φ│= arctg (X_С/R) = arctg (1/ ωRС)

Треугольник сопротивлений показан на рис. 2.16.

По закону Ома Ú = İ Z = I e^jψi Z e^-jφ = IZ e^{j(ψi - φ)}

Ú = U e^jψu

Таким образом: U = I Z, ψ_u = ψ_i - φ

Ток в цепи опережает напряжение на угол φ.

Напряжение в цепи равно сумме напряжений на резисторе U_R и на конденсаторе U_С.

Ú = U e^{j(ψi - φ)} = U cos (ψi - φ) + j U sin (ψi - φ)

Если ψ_i = 0, то

Ú = U e^-jφ = U cos φ - j U sin φ = Ú_R + Ú_C

U_R = U cos φ

U_C = U sin φ

В екторная диаграмма тока и напряжений показана на рисунке 2.17

Параллельное соединение R и L

Параллельное соединение катушки и конденсатора показано на рисунке 2.18. Методы расчёта не отличаются от рассмотренных в предыдущих примерах, поэтому можно обойтись без детальных пояснений.

П ри параллельном соединении удобнее использо-вать понятие проводимости, а не сопротивления, так как общая проводимость цепи равна сумме проводимости двух её ветвей.

Y = Y_R+Y_L

Y_R= G_R- jB_R = G_R = 1/R

Y_L= G_L- jB_L = - jB_L = - j/X_L = - j/ωL

Y = 1/R - j/ωL = Y e^-jφ

φ = arctg (B/G)

Треугольник проводимостей показан на рис. 2.19.

На вход подано напряжение: Ú = U e^jψu

Тогда ток: İ =YÚ =Y e^-jφ U e^jψu = UY e^{j(ψu - φ)} = I e^{j(ψu - φ)}

İ = İ_R + İ_L

I_R = I cos φ

I_L = I sin φ

ψ_i = ψ_u - φ

φ = ψ_u - ψ_i > 0

В екторная диаграмма тока и напряжений показана на рисунке 2.20.

Как обычно – ток в катушке отстаёт от напряжения на катушке на 90⁰, на активном сопротивлении – ток и напряжение совпадают по фазе. В данной цепи сдвиг фаз между током и напряжением

0 < φ < 90⁰

Параллельное соединение R и C

В четвёртой схеме, наверное, можно совсем обойтись без пояснений. Схема показана на рисунке 2.21.

Y = Y_R+Y_С

Y_R= G_R- jB_С = G_R = 1/R

Y_С= G_С- jB_С = - jB_С = j/X_С = jωС

Y = 1/R + jωС = Y e^jφ

φ = arctg (B/G)

Треугольник проводимостей показан на рис. 2.22.

На вход подано напряжение: Ú = U e^jψu

Ток в цепи: İ =YÚ =Y e^jφ U e^jψu = UY e^{j(ψu + φ)} = I e^j(ψu+φ)

İ = İ_R + İ_С

I_R = I cos φ

I_С = I sin φ

ψ_i = ψ_u + φ

φ = ψ_u - ψ_i < 0

В екторная диаграмма тока и напряжений показана на рисунке 2.23.