Глава 5 Резонанс

Резонанс напряжений

Рассмотрим цепь с последовательным соединением резистора, катушки и конденсатора (рисунок 2.28).

Полное сопротивление цепи:

Z = R+jX = R+j(X_L-X_C)

Соотношения для определения токов и напряжений уже рассмотрены неоднократно, поэтому детально приводить их не имеет смысла. Векторные диаграммы показаны на рисунках 2.29 и 2.30.

На рисунках показаны варианты при X_L<X_C и X_L>X_C. Возможен вариант, когда X_L=X_C и φ = 0. Такое явление в электрической цепи, содержащей L и C, при котором сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю, называется резонансом. При резонансе цепь, несмотря на наличие реактивных элементов, ведёт себя как активное сопротивление (рисунок 2.31).

Электрическая цепь, в которой возможен резонанс, называется колебательным контуром. В данном случае, при последовательном соединении, схема называется последовательным колебательным контуром. Резонанс в такой цепи называется резонансом напряжений.

Условие резонанса: X_L=X_C => ωL=1/ωC

При заданных L и C резонанс возможен на одной частоте, называемой резонансной частотой ω₀:

Свойства схемы на частоте резонанса:

- φ = 0, напряжение и ток совпадают по фазе;

- Полное сопротивление Z = R;

- Ток в цепи максимальный I = I_max=U/I;

- реактивные сопротивления равны. Подставив из формулы частоту резонанса, получим:

ρ называется волновым или характеристическим сопротивлением;

- Напряжения на L и C равны: U_L=U_C= X_LI = ρI

- Общее напряжение цепи: U = U_R= RI

Важный момент: напряжения на реактивных элементах могут быть больше общего напряжения цепи, если ρ>R.

- Величина Q = ρ/R = U_L/U = U_C/U называется добротностью колебательного контура. Q (не путать с реактивной мощностью) показывает во сколько раз напряжение на реактивных элементах больше напряжения на резисторе;

- Полная мощность равна активной мощности:

S = P, Q = 0

Частотная характеристика колебательного контура показана на рисунке 2.32. С ростом частоты X_L линейно возрастает, X_С обратно пропорционально убывает, а Z имеет минимум на частоте резонанса ω₀.

.

Зависимость тока от частоты I = f (ω) - показана на рисунке 2.33. При постоянном напряжении ток максимален на частоте ω₀.

На рисунке 2.34 показана фазо-частотная характе-ристика – зависимость сдвига фаз между током и напря-жением от частоты φ(ω). На частоте резонанса ω₀ сдвиг фаз равен нулю. При ω < ω₀ цепь носит индуктивный характер и φ < 0, при φ > ω₀ – ёмкостной и φ > 0.

Резонанс токов

Аналогично рассмотрим цепь с параллельным соединением резистора, катушки и конденсатора (рисунок 2.35).

Как обычно, при параллельном соединении, удобно использовать проводимости, а не сопротивления.

Полная проводимость цепи:

Y = G - jB = G - j(B_L-B_C)

Векторные диаграммы при B_C < B_L и B_C > B_L показаны на рисунках 2.36 и 2.37.

Такая схема называется параллельным колебатель-ным контуром. Резонанс в такой цепи называется резонансом токов (рисунок 2.38).

Условие резонанса: B_L= B_C => 1/ωL=ωC

Формула для частоты резонанса аналогична:

Свойства схемы параллельного колебательного контура на частоте резонанса:

- φ = 0, напряжение и ток совпадают по фазе;

- Полное сопротивление Z = R,

проводимость: Y = G;

- Ток в цепи минимальный I = I_min= UG;

- реактивные сопротивления и проводимости равны:

- Токи через L и C равны: I_L=I_C;

- Добротность контура: Q = ρ/R = Y/G;

- Полная мощность равна активной мощности:

S = P, Q = 0

К ак видите, наблюдается полная аналогия с последовательным резонансом.

Частотные характеристики параллельного колеба-тельного контура показаны на рисунках 2.39 и 2.40. Они полностью аналогичны характеристикам последователь-ного колебательного контура, если заменить сопротивле-ния на проводимости, а ток на напряжение.

Фазо-частотная характеристика параллельного коле-бательного контура показана на рисунке 2.41.