Глава 2 Активные и реактивные элементы
Представление синусоидальных величин в виде
векторов
Действия с синусоидальными величинами, очевид-но, намного сложнее, чем с постоянными. Для переменно-го тока используют свои специальные методы расчёта. Рассмотренные ниже методы расчёта предполагают, что все токи и напряжения имеют одну и ту же частоту ω. При различных частотах разных источников энергии эти методы работать не будут.
Одним из методов является представление токов и напряжений в виде векторов.
Пусть имеется ток - i(t) = Imsin (ωt+ψi)
Представим его в виде радиус-вектора (рисунок 2.2)
Длина вектора равна амплитудному или действую-щеему значению I. Угол, образуемый вектором с осью t, равен начальной фазе ψi. Угол отсчитывается как обычно в тригонометрии: от оси абсцисс против часовой стрелки. В данном примере ψi > 0.
Вектор вращается против часовой стрелки с угловой частотой ω.
Как известно, синус – проекция вращения вектора единичной длины на ось ординат при вращении его против часовой стрелки с частотой ω.
Аналогично: мгновенное значение i(t) - проекция вращения вектора длиной I на ось ординат при вращении его против часовой стрелки с частотой ω.
Т
аким
же образом можно представить несколько
токов или напряжений. Суммой их будет
вектор, равный сумме векторов (рисунок
2.3).
Пусть имеются два тока:
i1(t) = Im1sin (ωt+ψ1)
i2(t) = Im2sin (ωt+ψ2)
Суммой их является вектор I (рисунок 2.3)
i(t) = Imsin (ωt+ψ)
Действуют все математические правила действий с векторами. Все вектора вращаются против часовой стрелки с частотой ω, взаимное их расположение при этом не меняется.
Если нет необходимости определять мгновенные значения, то один из векторов можно направить произвольно, главным является взаимное расположение векторов, сдвиг фаз между ними.
То же самое действует и в отношении напряжений. Также можно использовать амплитудные или действую-щие значения.
Комплексные числа.
Символический метод расчёта
Другим методом расчёта является символический метод – представление векторов в виде комплексных чисел.
Комплексное число (назовём здесь его Z) имеет действительную и мнимую части. Назовём их R и X. Запись числа в алгебраической форме:
Z = R+jX,
Где j = √-1– «мнимая единица». j2 = -1. В математике также обозначается не j, а буквой i.
К
омплексное
число может быть представлено векто-ром
(или точкой) на комплексной плоскости,
где по оси ординат откладывается
действительная часть, а по оси абсцисс
– мнимая часть (рисунок 2.4).
Именно так в дальнейшем будут обозначаться сопротивления:
R – активное сопротивление;
X – реактивное сопротивление;
Z – полное сопротивление.
Далее эти понятия (R, X, Z) будут изучаться детально.
Существует также показательная форма записи комплексных чисел:
Z = Zejφ
Перевод из одной формы в другую производится, используя формулы Эйлера:
ejφ = cos φ + j sin φ
e-jφ = cos φ - j sin φ
Ещё одна форма записи – тригонометрическая:
Z = Z cos φ + j Z sin φ
Формулы перевода из одной формы в другую имеют вид:
φ = arctg X/R R = Z cos φ X = Z sin φ |
Z = R + jX
Аналогично в символической (комплексной) форме записывается ток и напряжение:
İ = I ejψi , Ú = U ejψu
Выражение для комплексов тока и напряжения обычно записываются через действующие значения, но могут быть также записаны и через амплитудные:
İm = Imejψi , Úm = Umejψu
Пояснения к обозначениям. Может возникать путаница при одинаковых обозначениях, например: I – «комплекс тока» и I – «действующее значение тока». То же касается Z и U. Поэтому для символического обозначения комплексного числа нужно использовать другое обозначение. Для функции времени – напряжения и тока – используется обозначение с точкой вверху. Сопротивление Z не является функцией времени, поэтому обозначать его Ż ошибочно. Для сопротивления принято для комплекса обозначение с подчёркиванием снизу: Z.
Для операций сложения (вычитания) удобна запись комплекса в алгебраической форме, для умножения (деления) – в показательной. При выполнении расчётов вручную, часто приходится преобразовывать одну форму в другую, что является довольно громоздким и трудоёмким.