§ 88. Угол между двумя плоскостями. Условие перпендикулярности двух плоскостей

Косинусы углов между двумя плоскостями, заданными уравнениями (1)

(2)

относительно декартовой прямоугольной системы координат, выражаются формулой . (3)

Из этой формулы видно, что угол между плоскостями определяется через угол между векторами и нормальными соответственно к данным плоскостям.

Если формулу (3) Записать в виде (4), где перед радикалами брать знак "плюс", то это будет угол между плоскостями и , внутренние точки которого находятся в положительном полупространстве от одной плоскости и в отрицательном полупространстве от другой плоскости (рис. 131).

. (4)

Следствие. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух плоскостей, заданных общими уравнениями

относительно декартовой прямоугольной системы координат, является равенство

§ 89. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых

Углом между двумя прямыми в пространстве называется любой из углов между двумя параллельными им прямыми, проходящими через произвольную точку пространства. Таким образом, две прямые в пространстве (если они не перпендикулярны) образуют между собой два различных угла: один острый, а другой тупой. Сумма этих углов равна .

Пусть и - направляющие векторы данных прямых, заданных относительно декартовой прямоугольной системы координат. Угол между этими векторами равен одному из углов, образованных данными прямыми. Следовательно, косинусы углов между двумя данными прямыми выражаются формулой:

.

Отсюда получаем необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых:

;

для того, чтобы две прямые были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих векторов этих прямых была равна нулю.

§ 90. Угол между прямой и плоскостью Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Углом между прямой и плоскостью (если они неперпендикулярны) называется меньший из двух углов между этой прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если же прямая и плоскость перпендикулярны, то угол между ними считается равным .

Пусть относительно декартовой прямоугольной системы координат заданы плоскость общим уравнением

и прямая р каноническими уравнениями

.

Косинус угла между вектором перпендикулярным данной плоскости и направляющим вектором данной прямой по абсолютной величине равен синусу угла между данной прямой и данной плоскостью (рис. 132). Но косинус угла между вектором и равен

,

следовательно, синус угла между данной прямой и данной плоскостью определится по формуле

Если прямая, заданная уравнениями , перпендикулярна плоскости

то направляющий вектор прямой коллинеарен вектору , перпендикулярному данной плоскости. Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т.е. существуют такое отличное от нуля число , что

,

или

.

Обратно, если выполнены эти соотношения, то векторы и коллинеарны, т.е. направляющий вектор данной прямой коллинеарен вектору , перпендикулярному данной плоскости, следовательно, данная прямая и плоскость взаимно перпендикулярны.

Итак, для того чтобы прямая и плоскость, заданная относительно декартовой прямоугольной системы координат, были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы координаты направляющего вектора прямой были пропорциональны коэффициентам при х, у, z в уравнении плоскости.

Клетеник № 976: № 977; № 975.