- •Лекция 12.
- •§ 77. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через данную точку в данном направлении. Параметрическое уравнение прямой
- •§ 78. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •§ 81. Прямая как линия пересечения двух плоскостей
- •§ 85. Геометрический смысл неравенства первой степени с тремя неизвестными
- •§ 86. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 76. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§ 79. Взаимное расположение двух прямых
- •§ 80. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •§ 82. Пучок плоскостей
- •§ 83. Взаимное расположение трех плоскостей
Лекция 12.
§ 77. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через данную точку в данном направлении. Параметрическое уравнение прямой
Теорема 1. В общей декартовой системе координат уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор , будет иметь вид
(1)
(эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой), или в параметрической форме
(2)
или в векторно-параметрической форме
.
Доказательство. Пусть М (х, у, z) – произвольная точка; она лежит на прямой, проходящей через точку , коллинеарной вектору тогда и только тогда когда векторы и коллинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны:
.
Так как , то необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и можно записать еще и так:
,
или
,
о тсюда сразу получаются параметрические уравнения (2) прямой
Соотношение
эквивалентно такому:
,
где - радиус-вектор точки , - радиус-вектор точки М. Из последнего уравнения находим
.
Параметр t есть координата точки М данной прямой в следующей системе координат на этой прямой: начало координат, - масштабный вектор.
§ 78. Уравнения прямой, проходящей через две точки
Уравнения прямой, проходящей через две различные точки и , заданные относительно общей декартовой системы координат, можно записать в виде
,
или в параметрической форме
Доказательство. За направляющий вектор прямой можно взять вектор , после чего остается применить результаты теоремы 1.
§ 81. Прямая как линия пересечения двух плоскостей
В общем случае прямую р в общей декартовой системе координат можно задать уравнениями двух плоскостей:
пересекающихся по этой прямой.
Для приведения прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями и к каноническому виду надо найти какое-нибудь решение системы , . Точка лежит на прямой, по которой пересекаются плоскости и . Далее вектор с координатами
является направляющим вектором данной прямой, так как он ненулевой и компланарен каждой из данных плоскостей. В самом деле, применяя необходимое и достаточное условие компланарности вектора и плоскости, получим
и аналогично , так что вектор коллинеарен прямой, по которой пересекаются плоскости и . Каноническое уравнение этой прямой можно записать в виде
.
§ 85. Геометрический смысл неравенства первой степени с тремя неизвестными
Теорема 2. Пусть относительно общей декартовой системы координат задана плоскость общим уравнением
(1)
Тогда для координат х, у, z всех точек , лежащих по одну сторону от плоскости , выполняется неравенство
,
а для координат х, у, z всех точек лежащих по другую сторону от плоскости , - неравенство . Плоскость делит пространство на два полупространства. То полупространство, для координат всех точек которого
,
будем называть положительным, а другое, для координат всех точек которого , отрицательным.
Теорема 3. Пусть относительно общей декартовой системы координат плоскость задана общим уравнением
.
Тогда, если отложить главный вектор этой плоскости от любой точки этой плоскости , то конец Р отложенного вектора будет находится в положительном полупространстве от данной плоскости (рис. 130).
Теорема 2 и 3 доказываются аналогично тому, как были доказаны теоремы 1 и 2 в § 62.
Если система координат – декартова прямоугольная, то главный вектор перпендикулярен к данной плоскости.
Условие для вектора является необходимым и достаточным условием того, что вектор , заданный относительно общей декартовой системы координат, направлен в положительное полупространство от плоскости, заданной уравнением
относительно той же системы координат.