9. Параллелограмм
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Условие о том, что четырехугольник является параллелограммом, равносильно каждому из следующих пяти условий:
- противоположные стороны четырехугольника попарно равны;
- две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны;
- противоположные углы четырехугольника попарно равны;
- точка пересечения диагоналей четырехугольника делит каждую из них пополам;
- каждая из диагоналей
четырехугольника делит его на равновеликие
треугольники. На рис. 13 изображен
параллелограмм ABCD
с C
B
высотой ВЕ и диагоналями АС и ВD . Его площадь
S может быть найдена по следующим формулам : F
S = ADBE = ABADSinBAD = 0,5ACBDSinAFB . D E A
Также выполняется равенство AC 2+BD 2= 2(AB 2+AD 2) . Рис. 13
Прямоугольник, ромб и квадрат являются разновидностями параллелограммов. Надо знать, что около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он прямоугольник, причем диаметр окружности будет равен диагонали этого прямоугольника. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он ромб, причем диаметр окружности будет равен высоте этого ромба.
Можно переходить к решению заданий 4.1 – 4.5.
9.1. Окружность, проходящая через
вершину А квадрата АВСD,
касается его сторон BC
и CD соответственно
в точках E и F
. Найдите радиус этой окружности, если
площадь треугольника AEF
равна
.
9.2. В прямоугольнике АВСD точка Е лежит на диагонали АС . Найдите отношение площадей треугольников ABE и ADE .
9.3. Найдите в градусах тупой угол между диагоналями параллелограмма с площадью , около которого можно описать окружность радиуса 1.
9.4. В параллелограмм с одним из
углов, равным
,
вписан круг. Найдите отношение площадей
параллелограмма и круга.
9.5. Биссектриса острого угла А параллелограмма АВСD пересекает прямые BC и CD в двух точках E и F соответственно. Найдите отношение большей высоты параллелограмма и меньшей, если AE / EF = 3 .
10. Трапеция
Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две нет. Ясно, что трапеция – выпуклый четырехугольник. На рис. 14 изображена трапеция АВCD , у которой BC и АD – основания, B C
А
B
и CD –
боковые стороны, EF
– средняя ли-
ния, BG – высота и Н – точка пересечения диа- E H F
гоналей. Для решения задач по этой теме нам
могут понадобится следующие сведения:
- EF || AD,
EF || BC
и
;
А G
D
-
AHB
; Рис. 14
- SABC = SBCD , SABD = SACD , SAHB = SCHD ;
- AHD CHB ;
- для равнобедренной трапеции
(при АВ = СD) имеем
EF = GD
и AG =
;
- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной;
- если в трапецию можно вписать
окружность, то сумма ее оснований равна
сумме боковых сторон и поэтому
,
а значит в равнобедренной трапеции EF
= АВ.
Можно переходить к решению заданий 5.1 – 5.5.
10.1. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию с углом 300 и площадью 8.
10.2. Около равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 63 и BC = 33 описана окружность. Найдите диаметр этой окружности, если АВ = 39.
10.3. Диагонали трапеции равны 17 и 25, а высота – 15. Найдите площадь трапеции.
10.4. Найдите меньшее основание трапеции, в которую вписана окружность с диаметром 15 и боковые стороны которой равны 17 и 25.
10.5. Найдите высоту трапеции, у которой стороны равны 3; 4; 5 и 1.