2. Теоремы синусов и косинусов

Пусть АВС – произвольный (не обязательно прямоугольный) треугольник, ВС = a, AC = b, AB = c, A = , B =  и C =  . Тогда выполняются следующие равенства:

(теорема синусов); (теорема косинусов).

Теорему синусов удобно применять в том случае, когда в треугольнике известны: 1) одна сторона и два угла (третий угол легко находится) либо 2) две стороны и угол, не лежащий между ними. Теорема косинусов хорошо работает, когда в треугольнике известны две стороны, а также третья сторона либо какой-то угол (в последнем случае третью сторону берем за х и, используя равенство, составляем квадратное уравнение относительно х). Следует отметить, что информация о косинусе угла треугольника предпочтительней, чем информация о его синусе, так как синус не различает острые и тупые углы (Sin 30⁰ = Sin 150⁰ ). Поэтому, если использована теорема синусов для нахождения угла, не забывайте рассмотреть случай остроугольного и случай тупоугольного треугольников. Полезно знать формулу , легко выводимую из равенства в теореме косинусов. Например, если мы найдем косинус наибольшего угла треугольника (угла против большей стороны), то по его знаку можно определить вид треугольника ( остроугольный – при положительном косинусе, тупоугольный – при отрицательном и прямоугольный – в случае равенства косинуса нулю). Замечаем, что синус любого угла треугольника всегда положителен, а косинус нет. Поэтому для внутреннего угла  треугольника имеем равенства: и при   90⁰, при  >90⁰. Теперь можно переходить к решению заданий 2.1 – 2.5.

2.1. Найдите в градусах наибольший угол треугольника со сторонами 3, 5 и 7.

2.2. В треугольнике АВС угол А тупой, SinA = , АВ = 2 и АС = 3. Найти ВС.

2.3. В треугольнике АВС известно, что АС = 3, SinB = 6/11 и CosC = . Найдите сторону АВ.

2.4. Найдите в градусах угол С треугольника АВС, если АВ = 5, АС =1 и CosА = 0,8.

2.5. Найдите сторону ВС треугольника АВС, если АВ = 7, АС = 9 и SinA = .

3. Площадь треугольника

Для нахождения площади треугольника самой важной является формула , где h_a – высота треугольника, опущенная на сторону а. Важность этой формулы заключается в том, что в отличии от многих других по этой формуле можно найти площадь треугольника, имея информацию только о двух его компонентах (стороне и высоте). Из этой формулы, в частности, следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Зная две стороны а и b треугольника, а также угол  между ними, площадь находится по формуле . Если же известны все три стороны а , b и с, то по формуле Герона имеем , где р – полупериметр треугольника. Полезными могут оказаться также формулы и не встречающиеся в школьном учебнике:

, где  и  - углы треугольника, прилежащие к его стороне а и также

– аналог формулы Герона (известны все три стороны). Можно переходить к решению заданий 3.1 – 3.5.

3.1. Найдите площадь треугольника со сторонами и 4.

3.2. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 4 и 5, а косинус угла между ними равен 0,6.

3.3. Найдите площадь тупоугольного равнобедренного треугольника, у которого две высоты равны 15 и 24.

3.4. Найдите площадь треугольника АВС, у которого АС = 4 и для некоторой точки D, лежащей на стороне АС, выполняются условия: BD = 5 и CosBDC = 0,8.

3.5. Найдите площадь треугольника АВС, у которого АВ = 13, ВС = 15 и tgC =4/3.