- •1. Прямоугольный треугольник
- •2. Теоремы синусов и косинусов
- •3. Площадь треугольника
- •4. Высоты, медианы и биссектрисы треугольника
- •5. Вписанная и описанная окружности треугольника
- •6. Окружность и ее компоненты
- •7. Окружности и подобные треугольники.
- •8. Многоугольники и их компоненты
- •9. Параллелограмм
- •10. Трапеция
5. Вписанная и описанная окружности треугольника
Во всякий треугольник можно вписать и притом только одну окружность (то есть окружность, касающуюся всех трех его сторон), причем ее центр, как было замечено ранее, совпадает с точкой пересечения биссектрис внутренних углов треугольника. Радиус r вписанной окружности в треугольник с площадью S и полупериметром р можно найти по формуле r = S / p (кстати, зная полупериметр и радиус вписанной окружности, можно также найти площадь треугольника). Это основная формула для нахождения радиуса вписанной окружности не только в треугольник, но и в любой многоугольник, в который окружность можно вписать.
Известно, что около любого треугольника можно описать и притом единственную окружность (то есть окружность, проходящую через все три его вершины), причем ее центр совпадает с точкой пересечений серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Для нахождения радиуса R описанной окружности желательно знать следующие две формулы: R = и , где S – площадь треугольника, a, b и c – его стороны, - угол против стороны а . Отметим, что вторая формула в отличие от первой позволяет найти радиус описанной окружности по двум компонентам (по стороне и по синусу противолежащего угла) и поэтому является более важной. Реже применяемой, но, тем не менее, полезной является формула S = 2 R2 Sin Sin Sin , связывающая этот радиус с площадью и тремя углами треугольника.
В заключении отметим, что некоторые формулы, на первый взгляд легко выводимые из рассмотренных выше, в случае правильного (равностороннего) или прямоугольного треугольника все же желательно выучить наизусть. К таким формулам относятся:
для правильного треугольника со стороной а; для прямоугольного треугольника с катетами а,b и гипотенузой с.
Можно переходить к решению заданий 5.1 – 5.5.
5.1. Около равностороннего треугольника описана окружность радиуса . Точка D лежит на стороне АС и делит ее в отношении 1 : 3, считая от вершины А. Найдите длину отрезка BD .
5.2. Медиана, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна 3, а радиус вписанной в него окружности равен 1. Найдите периметр этого треугольника.
5.3. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность радиуса , пересекающая высоту BD в точке Е . Точка Е делит отрезок BD в отношении 3 : 4, считая от конца В. Найдите полупериметр треугольника АВС.
5.4. Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом при основании в 150, если радиус описанной около него окружности равен .
5.5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, у которого высота, проведенная из вершины В, равна 15, а также известно, что SinA = 3/5 и SinC = 15/17 .
6. Окружность и ее компоненты
На рис.1 изображен центральный угол АОС, опираю-
ющийся на дугу АВС. Если АОС равен (радиан) или т0,
то говорят, что дуга АВС тоже имеет угловую величину О
или соответственно т0 (напоминаем, что угол в 1800 равен
углу в радиан). Длина окружности радиуса R равна 2R .
Если АО = R, то длина l дуги АВС может быть найдена (т0)
по формуле l = R = R m /180 . Площадь круга радиуса А С
R равна R2. Часть круга, ограниченную лучами ОА, ОС
и дугой АВС, называют сектором, опирающимся на дугу В
АВС. Его площадь S находится по формуле S = R2 / 2 Рис. 1 или S = R2 m / 360 . Часть сектора, ограниченная хордой АС и дугой АВС, называется сегментом. Его площадь равна разности площадей сектора и треугольника АОС. Известно, что отношение угловых величин дуг одной окружности равно отношению их длин, а также равно отношению площадей секторов, опирающихся на эти дуги.
На рис. 2 изображен вписанный угол АВС, опирающийся на дугу ADC, а на рис. 3 – угол EFG между касательной FE к окружности и хордой FG, отсекающей дугу FHG . Оказывается, что величины углов АВС и EFG равны половинам угловых величин дуг ADC и FHG соответственно. A
В
М H
G
B E D P
N
A C L
H R
D C G K F
Рис. 2 E F Рис.4
Рис. 3 Рис. 5
Для решения задач по данной теме полезно уметь находить углы между хордами и между секущими окружности. Так, на рис. 4 угол АЕD между хордами АС и BD оказывается равным половине суммы угловых величин дуг AMD и BNC, а на рис. 5 угол FGH между секущими GF и GH равен половине разности угловых величин дуг FPH и KRL .
Приведенные сведения могут быть использованы при решении заданий 1.1 – 1.5.
6.1. Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса 12/ , причем ВАС = /8
и DBС = /6. Найдите длину дуги BCD .
6.2. Точки А и В лежат на разных дугах, стягиваемых хордой CD окружности радиуса . Найдите площадь сегмента, ограниченного хордой АС и меньшей из стягиваемых ею дуг, если ACD = 100 и CBD = 250.
6.3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром О, причем ВАD = 500
и ВDС = 100. Найдите угол COD .
6.4. Найдите острый угол между диагоналями четырехугольника ABCD , вписанного в окружность, если АСB = 750 и CAD = 700.
6.5. Окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС и пересекает стороны АС и ВС соответственно в точках D и E . Касательная к окружности в точке А образует со стороной АВ угол 750 и АСВ = 450 . Найдите угловую величину дуги DE , расположенной внутри треугольника АВС .