Решение задач элементарной геометрии с помощью векторов

ЗАМЕЧАНИЕ

При решение задачи элементарной геометрии с помощью векторов надо сначала постараться сформулировать то, что нужно доказать, или то, что нужно найти, с помощью векторов. После этого ввести базис, связанный с условием задачи (если можно, то лучше ортонормированный базис или базис, для которого известны длины базисных векторов и углы между ними), затем выявить все векторы, связанные с задачей, и найти их координаты в данном базисе и после этого решить задачу.

ЗАДАЧА № 14

Найти угол между биссектрисами плоских углов прямого трехгранного угла.

РЕШЕНИЕ

Пусть ОАВС прямой трехгранный угол с вершиной О, т.е. АОВ, ВОС, СОА прямые углы. Найдем угол МОК между биссектрисами ОМ и ОК углов АОВ и ВОС. Для этого найдем векторы, параллельные этим биссектрисам и найдем косинус угла между этими векторами.

Рассмотрим такой ортонормированный базис i, j, k для которого

i ↑↑ ОА, j ↑↑ ОВ, k ↑↑ ОС. Тогда по задаче № 4 вектор ( i + j) сонаправлен с вектором ОМ, в вектор ( j + k) сонаправлен с вектором ОК.

Следовательно, МОК = ( i + j, j + k ).

Найдем координаты этих векторов. Ясно, что ( i + j) (1,1,0) а

(j + k) (0,1,1). Поэтому

Соs МОК = Соs ( i + j, i + j) = = , значит МОК = 60°.

ОТВЕТ. Угол между биссектрисами плоских углов прямого трехгранного угла равен 60°.

ЗАДАЧА № 15

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, начиная от вершин.

РЕШЕНИЕ

Пусть АА₁, ВВ₁, СС₁ – медианы треугольника АВС. Обозначим через О₁, О₂, О₃ точки, делящие медианы АА₁, ВВ₁, СС₁ в отношении 2:1, начиная от вершин, тогда АО₁ = 2/3 АА₁, ВО₂ = 2/3 ВВ₁, СО₃ = 2/3 СС₁. Докажем, что три точки О₁, О₂, О₃ совпадают. Две точки О₁ и О₂ совпадают тогда и только тогда, когда вектор О₁О₂ = 0

Введем базис {а,в} , где АВ = а, АС = в. Тогда

АА₁ = ½ (АВ + АС) = ½ (а + в), ВВ₁ =ВА + АВ₁ = -а + ½ в, а значит

АО₁ = 1/3 (а + в), ВО₂ = 2/3 (-а + ½ в).

Выразить вектор О₁О₂ через векторы а и в.

О₁О₂ = О₁А + АВ + ВО₂ = -1/3(а + в) + а + 2/3 (-а + ½ в) = 0. Т.е. О₁О₂ = 0, следовательно точки О₁ и О₂ совпадают.

Аналогично доказывается, что точки О₂ и О₃ совпадают.

Таким образом, три точки О₁, О₂, О₃ совпадают, следовательно, медианы АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в одной точке О₁, которая делит их в отношении 2:1, начиная от вершин. ■

ЗАДАЧА № 16

Доказать, что если в тетраэдре две пары противоположных репер попарно перпендикулярны, то и третья пара противоположных ребер перпендикуляра.

РЕШЕНИЕ

Пусть в тетраэдре АВСД ребра АВ и СД перпендикулярны и ребра АС и ВД перпендикулярны. Докажем, что ребра АД и ВС перпендикулярны, т.е. скалярное произведение векторов АД и ВС равно нулю.

Введем базис {а,в,с} , где а = АВ, в = АС, с = АД, тогда СД = с – в,

ВД = с – а, ВС = в –а.

Так как АВ СД и АС ВД, то скалярные произведения АВ СД = 0 и АС ВД = 0, значит а(с – в) = 0, в(а – с) = 0, отсюда получаем, что

ас – ав = 0, ва – вс = 0 или ас = ав и ав = вс. Из этих двух равенств следует, что

ас = вс (1)

Найдем скалярное произведение АД ВС . Подставив вместо векторов АД и ВС их разложения по базисным векторам, получим

АД ВС = с (в – а) = св – са = вс – ас ,

отсюда, учитывая равенство (1), получаем, что АД ВС = 0, следовательно, векторы АД и ВС перпендикулярны, и значит ребра АД и ВС перпендикулярны. ■

82. Доказать, что в правильной треугольной пирамиде противоположные ребра попарно перпендикулярны.

83. Найти углы между скрещивающимися медианами граней правильного тетраэдра.

84. Доказать, что в кубе АВСДА₁В₁С₁Д₁ диагональ АС₁ перпендикулярна плоскости А₁ВД.

85. Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.

86. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

87. Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

88. Доказать, что медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.