Ответы и указания к задачам темы 2

91. АВ(1,6), ВС(1,-1), М(11,1), К(0,7).

92. (2,1), (2,-1), (-2,-1), )-2,1).

93. 1) (-4,-4), (4,-4), (4,4), (-4,4).

2) С(4 ,0), В(0, 4 ), А(-4 ,0), Д(0,- 4 ).

3) А(-4,0), В(4,0), С(4,8), Д(-4,8)

94. А(0,0), В(1,0), С(3/2, ), Д(1, ), Е(0, ), F(-1/2, ).

95. А(-5,0), В(-5 + 2 , 2), С(5 - 2 , 2), Д(5,0).

98. Д(1,-2)

99. 1) 1, 2) , 3)13.

100. 1) , 2) 5, 3) 13.

101. (14,0), (0, 14/3).

102. (7,0), (-17,0), (0, 9 + 10 ), (0, 9 - 10 ).

103. 1) равносторонний, 2) равнобедренный, 3) прямоугольный.

104. Существует два квадрата АВС₁Д₁ и АВС₂Д₂. С₁(1,8), Д₁(-4,6),

С₂(5,-2), Д₂(0,-4).

105. Существует два треугольника АВС₁ и АВС₂.

С₁(-1 - , 3 + 2 ), С₂(-1 + , 3 - 2 ).

106. (2,10). Указание. Так как ось ОХ касается окружности в точке В, то

х = 2, далее воспользоваться тем, что АМ = ВМ.

107. А(1,0), В(1/2, ), С(-1/2, ), Д(-1,0), Е(-1/2, - ), F(1/2, - ).

108. 1) 2/3, 2) С(7/5, 1/5)

109 .1) -1/2, 2) -3/2, 3) - 4, 4) -5/6, 5) 1/4 .

110. А( 17/3, 16/3), М(-25/3, 4/3)

111. А(7,11)

112. 1) А1(2,-1), В1(1,-5), С1(3,1), 2) Р(2,-2), 3) М(2, - 5/3).

113. С(-3,-5).

114. .

115. А(-2,-6), В(8,2), С(-6,10).

116.С(21/2, 10), Д(4,-3).

117. (10/3, 17/3). Указание. Сначала найти координаты точки Д, для этого воспользоваться свойством биссектрисы АД треугольника АВС:

ВД : ДС = АВ : АС и значит (АВ,Д) = АВ : АС.

118. .

119. (2,-2).

120. (2,3). Указание. Пусть Н(х,у). Т.к. АН – высота треугольника АВС, то

АН ВС = 0, а т.к. Н ВС, то ВН ││ВС.

121. В( 6,5), Д(0,-3).

122. 1) и 2) положительная ориентация, 3) отрицательная ориентация.

124. – 68/25.

125. 1), 4) – левый базис, 2), 3) – правый базис.

126. Ι│ΙΙ = 1, ΙΙ – правый базис.

127. Ι│ΙΙ = -2, ΙΙ│ΙΙΙ = -1, Ι│ΙΙΙ = 2.

128. 1) 135°, 2) - 45°, 3) -30°.

129. 1) АВС, 2) САВ.

130. 1) (3 /2, 3/2). 2) (- 5 /2, 5 /2), 3) (1/2, - /2).

132. 1) А₁(1, -3π/4), В₁(3, - π/3), С₁ (2/3, 5π/6),

2) А₂(1, -π/4), В₂(3, - 2π/3), С₂ (2/3, π/6).

133. 1) А( , 0), В( , 2 π/3), С( , - 2 π/3).

2) А: ρ = 0, φ не определен, В(1,0), С(1, π/3).

134. 1) А( , π/4), В( , - π/4), С( , - 3 π/4), Д( ,3 π/4).

2) А: : ρ = 0, φ не определен, В(3, π/2), С(3 , π/4), Д(3,0).

135. 1) А(2,0), В(2, π /3), С(2, 2 π/3), Д(2, π), Е(2, -2 π/3), F(2, - π/3)

2) А: ρ = 0, φ не определен, В(2, π/3), С(2 , π/6), Д(4,0),

Е(2 , - π/6), F(2, - π/3).

136. 1)Окружность с центром О и радиусом 1,

2) Окружность с центром О и радиусом а,

3) Открытый луч с началом О, образующий с полярной осью

угол π/6.

137. 1) А(5/2, 5 /2), В(0,1), С( - /4, /4).

2) М(6, π/2), Р( ,3π/4), К(2, π/6).

138. 1) , 2) 10, 3) 5.

141. ρ² -2ρ Sinφ – 8 = 0

142. 1) Прямая, перпендикулярная полярной оси и проходящая через

точку с полярными координатами (2,0),

2) Окружность радиуса 5 с центром (5, π/2),

3) Прямая, параллельная полярной оси и проходящая через

точку (1, π/2).

4) Две прямые, проходящие через начало полярной системы

координат и образующие с полярной осью углы π/4 и 3 π/4.

143. 1) φ = arctg 1/3

2) ρ Sin φ + 5 = 0,

3) ρ² (1 + Cos ²φ) = 5,

4) ρ² Sin²φ - 4 ρ Cos φ = 0

144. А(-5,4), В(-12,5), С(-7,3).

145. х = - х ٰٰ+ 1, у = - х ٰ- ½ у ٰ + 1.

146. 1) х = - 7у ٰ , у = 2х ٰ + 2

2) х = х ٰ+ 2у ٰ+ 1, у = 4х ٰ+ 3у ٰ + 1.

147. х = - х ٰ- 2у ٰ+ 1, у = х ٰ- у ٰ .

148. х = х ٰ- 1, у = - ½ х ٰ+ ½ у ٰ + ½ Указание. Сначала составить формулы

преобразования координат при переходе от системы ΙΙ к системе Ι, а

.затем из этих формул выразить х и у.

149. (- 17/7, - 2/7).

150. х = - ½ х ٰ- ½ у ٰ + ½, у = х ٰ+ 1.

151. 1) х = х ٰ- у ٰ- 3, у = х ٰ+ у ٰ + .

2) х = х ٰ+ ½ у ٰ, у = ½ х ٰ- у ٰ – 2.

152. (5/2, 9/2).

153. Все точки прямой х + у – 2 = 0.

154. (-2,-1).

155. (-2, -5).

156. (0,1).

157. х = х’ + у’ + , у = - х’ - у’ + .

158. (х + 1)² + (у – 3)² = 16.

159. х² + у² = 25..

160. 1) М(3,0), r = 3, 2) М(-3,4), r = 5, 3) М(5, -12), r = 15,

4) М(-1, 2/3), r = 4/3.

161. 1) Окружность с центром (1, -2) и радиусом r = 5.

5) Окружность с центром (1, 0) и радиусом r = 1

7) Окружность с центром (2,1) и радиусом r = 2

Остальные уравнения не определяют окружность..

162. Точки А, С, Д лежат вне окружности, точка В на окружности.

163. 1) Точки находятся вне или на окружности с центром (1,3) и

радиусом r = 5.

2) Точки расположены между двумя концентрическими

окружностями и на самих окружностях, радиусы которых

равны 4 и 5, а их общий центр (1, -3),

3) Точки принадлежат общей части двух кругов и границе кругов,

центры которых в точках (1,2) и (4,6) и радиусы равны 5 и 3.

164. (х -6)² + (у – 5)² = 25.

165. х² + (у – а)² = а², а ≠ 0.

166. (х – 3)² + (у + 4)² = 25.

167. (х – 1)² + (у + 3)² = 68.

168. (х – 3)² + (у – 2)² = 26 и (х + 3)² + (у – 6)² = 26.

169. (х – 2)² + (у – 3)² = 1. Указание. Так как центр М окружности лежит на прямой 3х –у – 3 = 0, то М имеет координаты М(х, 3х – 3).

170. (х + 3)² + у² = 8.

171. Пусть │АВ│= 2а . а) Если с² >2а² , то искомое множество есть окружность с центром в середине АВ, б) если с² = 2а², то искомое множество есть одна точка – середина АВ, в) если с²< 2а², то искомое множество есть пустое множество.

172. х² + (у – 3)² = 9.

173. Окружность с центром в точке пересечения данных прямых и радиусом 4. Указание. Рассмотреть прямоугольную декартову систему координат, оси которой совпадают с данными прямыми.

174. Прямая с уравнением х = 9/4.