![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 8. Неявные функции. Дифференцируемые Отображения
- •8.1. Неявные функции заданные одним уравнением
- •8.2. Векторные отображения
- •В силу (13) это будет означать, что
- •Предел отображения обозначается:
- •8.3. Неявные функции n-переменных. Обратные отображения
- •8.4. Условный экстремум
- •8.5. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
- •8.6. Контрольные вопросы
- •8.7. Примеры решения задач
- •8.8. Задачи для самостоятельного решения
8.5. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
Пусть
– декартовы координаты в трехмерном
евклидовом пространстве
,
– множество точек плоскости
.
Определение
11. Непрерывное отображение
множества
,
где
,
,
,
(39)
в евклидово
пространство
называют поверхностью. Здесь
– непрерывные функции переменных
.
Три скалярных равенства (39) можно записать в векторной форме
,
(40)
где
– радиус вектор точки
в
.
Переменные
называются координатами или
параметрами на поверхности
.
Образ множества
при отображении (39) или (40) представляет
собой некоторое множество в евклидовом
пространстве
,
которое также называется поверхностью
и обозначается
.
Если возникающее при этом соответствие
между множеством
и его образом однозначно, то говорят,
что поверхность
не имеет самопересечений.
Пример 15. Два отображения
,
определяют различные
поверхности, несмотря на то, что образами
множества
в обоих случаях будет одно и тоже
множество, а именно:
.
В первом случае поверхность не имеет
самопересечений, а во втором имеет
самопересечение.
Пусть
– область, открытое связанное множество
на плоскости
.
Определение
12. Поверхность
называется гладкой, если функции
,
,
имеют непрерывные частные производные
первого порядка в области
,
т.е.
непрерывно дифференцируема в
.
Определение
13. Гладкая поверхность называется
регулярной, если в любой точке
ранг матрицы Якоби
равен двум.
Это означает,
что
векторы
и
линейно независимы, что равносильно
тому, что
.
Пусть
– гладкая регулярная поверхность без
самопересечений, заданная уравнением
(39) или (40). Ее геометрический образ будет
обозначен
.
Пусть
– фиксированная точка. Ей соответствует
точка
,
где
Зафиксируем
одну из переменных
.
Тогда векторная функция будет определять
гладкую кривую
на
(рис. 10.7). Вектор-функция
будет определять гладкую кривую
на
.
Кривые проходят через точку
.
Векторы
и
будут касательными векторами в точке
к
и
соответственно. Кривые
и
называются координатными линиями на
.
Вектор
называют нормальным вектором
поверхности. Ясно, что
и
.
Обозначим единичный нормальный вектор
.
Таким образом, в каждой
точке гладкой поверхности
существует два направления
и
.
Определение 14. Ориентацией гладкой регулярной поверхности называется непрерывная единичная нормаль. Поверхность, у которой фиксирована ориентация, называется ориентированной. Для гладкой регулярной поверхности без самопересечений есть две нормали – положительная и – отрицательная.
Ориентированную поверхность также называют двухсторонней. Ее можно также определить следующим образом: какова бы не была замкнутая кривая, целиком лежащая на поверхности и не пересекающая границы поверхности, вектор нормали при перемещении вдоль этой кривой по поверхности возвращается в исходное положение.
В противном
случае поверхность называется
односторонней. Примером неориентированной
или односторонней поверхности является
лист Мёбиуса (рис. 8.8). При движении по
средней линии листа от точки
единичный вектор нормали непрерывно
поворачивается. При возвращении в точку
единичный вектор нормали изменит
направление на противоположное. Поэтому
на этой поверхности нельзя построить
непрерывное поле нормали. Лист Мебиуса
не ориентируемая поверхность.
Найдем
направляющие косинусы нормали, т.е.
координаты единичного вектора
.
Известно, что
и
.
Поверхность задана параметрически:
.
Тогда
.
Откуда,
,
,
.
Поверхность задана в явном виде .
Тогда ее векторное
представление
,
,
.
;
.
.
.
(41)
.
Определение
15. Плоскость, проходящая через точку
поверхности, в которой лежат все
касательные к координатным кривым,
проходящим через эту точку, называют
касательной плоскостью к поверхности
в данной точке.
Для гладкой
регулярной поверхности
в каждой точке есть касательная плоскость,
причем единственная.
П
олучим
уравнение касательной плоскости в
декартовой системе координат с нормалью
в точке
(рис. 8.9). Пусть
произвольная точка, принадлежащая
касательной плоскости. Рассмотрим
векторы
и
.
Очевидно, что они ортогональные и их
скалярное произведение равно нулю, т.
е.
,
или, записывая
скалярное произведение в координатах,
получим уравнение касательной плоскости:
Подставляя значения направляющих косинусов, получим
.
Если поверхность задана в явном виде, т.е. , то направляющие косинусы определяются по формулам (41) и уравнения касательной плоскости будет
или
.
Для поверхности заданной неявно уравнением ,
где
непрерывно дифференцируемая функция
в окрестности точки
и
уравнение касательной имеет вид
,
так как нормальным вектором поверхности
является grad F(M0)
Определение 16. Прямая, проходящая через точку касания поверхности с касательной плоскостью и перпендикулярная этой плоскости, называется нормальной прямой (нормалью) к поверхности в этой точке.
Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид:
,
Если в качестве направляющего
вектора выбран вектор
,
то уравнение нормали в зависимости от
способа задания поверхности будут
или
или
.
Пример 16. Написать уравнения касательной, плоскости, нормальной прямой к сфере x2+y2+z2=4 в точке, проекция которой на плоскость oxy есть точка (1; 1).