![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 8. Неявные функции. Дифференцируемые Отображения
- •8.1. Неявные функции заданные одним уравнением
- •8.2. Векторные отображения
- •В силу (13) это будет означать, что
- •Предел отображения обозначается:
- •8.3. Неявные функции n-переменных. Обратные отображения
- •8.4. Условный экстремум
- •8.5. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
- •8.6. Контрольные вопросы
- •8.7. Примеры решения задач
- •8.8. Задачи для самостоятельного решения
8.4. Условный экстремум
Пусть
открытое множество, и на
задана дифференцируемая функция
n-переменных
.
Также на
пусть заданы непрерывно-дифференцируемые
функции
,
.
Будем в дальнейшем предполагать, что
и ранг матрицы Якоби
равен
для
.
Обозначим
через
множество точек
,
координаты которых удовлетворяют
системе уравнений
(28)
Эти уравнения будем называть уравнениями связи.
Определение
10. Точка
называется точкой
условного максимума (минимума)
функции
при выполнении уравнений связи (28), если
найдется
,
что для любой точки
выполняется
.
(29)
В отличие от точек обычного локального max или min неравенства (29) выполняются не во всех точках окрестности , а лишь в тех, где выполняются уравнения связи (28). Если точка условного max или min, то она называется точкой условного экстремума.
П
ример
12. Найти
условные экстремумы функции
при выполнении уравнения связи
(рис. 8.6).
Решение.
Из уравнения связи получаем
.
Поэтому при его выполнении функция
имеет вид
.
Это функция одной переменной. Найдем
ее производную и приравняем ее к нулю
.
Тогда
из
получаем,
.
В силу уравнений связи
,
т.е. точка
стационарная.
Найдем
.
Следовательно, точка
является точкой min
функции
при выполнении условия
.
Геометрически это означает, что точка
параболоида
проектирующаяся в точке
является самой низкой из всех точек,
лежащих над прямой
Этот пример показывает, что точка, в которой функция достигает своего условного экстремума, вообще говоря, не является точкой экстремума самой функции.
Пример
13. Рассмотрим
функцию
(параболический гиперболоид). Уравнение
связи
– плоскость параллельная оси
.
Ранее было показано, что функция не
имеет экстремума ни в одной точке
плоскости
.
Найдем условный экстремум.
Решение.
,
.
Тогда
получаем
.
С учетом связей
,
и точка
является точкой min
.
Следовательно, точка
есть условный минимум
при
.
Таким образом, сама функция не имеет
экстремума нигде, но условный экстремум
существует.
Такой
метод теоретически можно применить и
для более общего случая, когда
,
а уравнений связи
штук. Пусть, например,
.
При выполнении условий теоремы 8.5
существует система неявных функций
(в качестве
можно выбрать и другую переменную),
которая после подстановки в
дает функцию одной переменной:
,
которую
можно исследовать на экстремум как
функцию одной переменной. Аналогично
можно рассуждать при любом
,
тогда по теоремам 8.5 и 8.6 существует
система
неявных функций, и после их подстановки
в
получим функцию m-переменных,
которую можно теоретически исследовать
на экстремум, как функцию многих
переменных.
Однако практическое использование такого подхода невозможно, так как решение уравнений связи, т.е. отыскание системы одной или нескольких неявных функций даже в очень простых случаях очень сложно или, чаще всего, невозможно.
Для нахождения условных
экстремумов используют метод неопределенных
множителей Лагранжа. Запишем матрицу
Якоби для системы функций
,
т.е.
матрицу Якоби можно записать, как
векторный столбец градиентов функций
.
Теорема
8.11. (Необходимое
условие существования условного
экстремум). Пусть
точка условного экстремума функции
при выполнении уравнений связи (29) и
градиенты функций
линейно независимы (
,
,
…,
– линейно независимы), т.е. ранг матрицы
Якоби в точке
равен m.
Тогда существуют такие числа
,
одновременно неравные нулю, что
выполняется условие
,
(30)
т.е.
является линейной комбинацией градиентов
.
В координатной форме условие (30) имеет
вид
.
(31)
Пусть
точка условного экстремума
при условиях (28). По условию ранг матрицы
Якоби
равен m,
т.е. якобиан
.
(32)
В
силу теоремы 8.5 и замечания о непрерывности
достаточно малых
и произвольной точки
система уравнений (31) имеет единственное
решение
,
,
,
удовлетворяющее условиям:
.
При
этом функции
непрерывно дифференцируемы и имеют
местo
тождества (т.к.
– неявные функции задаваемые системой
уравнений (31)).
,
(33)
или
.
Тогда,
если подставить
в
,
то получим сложную функцию переменных
.
Эта
функция непрерывная дифференцируемая
функция как суперпозиция непрерывных
дифференцируемых функций и имеет в
точке
экстремум, т. к.
– точка условного экстремума. Поэтому
в этой точке все частные производные
по
равны нулю. Продифференцируем
как сложную функцию:
или
.
(34)
Теперь
продифференцируем по переменным
тождество (33)
или
. (35)
Система
уравнений (34), (35) и есть необходимое
условие условного экстремума в точке
.
Но функции
в явном виде неизвестны и поэтому,
продолжая рассуждения, запишем следующую
матрицу Якоби в точке
размерности
,
где первой строкой стоит
.
(36)
Условия
(33) и (34) означают, что каждый из последних
столбцов является линейной комбинацией
первых
столбцов, которые линейно независимы
в силу условия (34) теоремы. Следовательно,
ранг матрицы (36) тоже равен
.
Поэтому первая строка матрицы (36) является
линейной комбинацией остальных
строк, которые линейно независимы.
Следовательно,
существуют
одновременно не равные
,
такие, что выполняется (32).
Точки, в которых выполняются условия (30) и (31), называются стационарными точками при выполнении (30). Эти точки можно определить другим способом, если ввести функцию Лагранжа:
.
(37)
Числа
называют множителями
Лагранжа.
Тогда условия (30) или (31) запишутся в виде
.
Таким образом, стационарные точки функции при выполнении (30) определяются из следующей системы уравнений
или
(38)
Поясним
геометрический смысл метода Лагранжа.
Если
,
,
,
а уравнение связи
.
Пусть
точка условного экстремума при выполнении
.
Тогда условия (33) имеют вид
;
;
;
Таким
образом,
градиенты функций
и
коллинеарны в стационарной точке.
Пример 14. Найти экстремум
функции
при уравнении связи
.
Решение. Составим функцию Лагранжа
.
Система (38) имеет вид
Откуда
.
Подставляем в третье уравнение и получаем
,
,
.
Имеем две стационарные
точки
,
.