![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 8. Неявные функции. Дифференцируемые Отображения
- •8.1. Неявные функции заданные одним уравнением
- •8.2. Векторные отображения
- •В силу (13) это будет означать, что
- •Предел отображения обозначается:
- •8.3. Неявные функции n-переменных. Обратные отображения
- •8.4. Условный экстремум
- •8.5. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
- •8.6. Контрольные вопросы
- •8.7. Примеры решения задач
- •8.8. Задачи для самостоятельного решения
8.2. Векторные отображения
Пусть
точка множества
и пусть на
заданы следующие функции n-переменных:
,
(11)
Таким
образом, для каждого фиксированного
можно рассматривать вектор
.
В этом случае говорят, что имеет место
векторное
отображение
или векторная
функция
.
У
векторной функции
,
каждая координата
является функцией n-переменных
.
Функции
называют координатными
функциями
отображения
,
где
записывают так
.
Если
– координатные векторы в
,
а
– координатные векторы в
,
т.е.
,
,
…,
;
,
,
…,
.
Тогда
Если
,
то пространства
и
можно считать совпадающими и функцию
можно интерпретировать как отображение
в
.
Такое отображение часто называют
векторным
полем заданным на
.
Важным классом векторных отображений
являются линейные отображения или
линейные векторные функции.
Определение
1. Векторное
отображение
называют линейным
если
и
,
выполняется:
.
Из
определения следует, что при линейном
отображении любая линейная комбинация
векторов
отображается в такую же линейную
комбинацию образов этих векторов
.
Линейные отображения называют также линейными операторами.
Пусть
линейная векторная функция (линейное
отображение или линейный оператор).
Образ каждого координатного вектора
,
при отображении
является вектором (точкой) в
и поэтому раскладывается по координатным
векторам
.
Обозначим коэффициенты этого разложения
через
,
тогда
.
Пусть
,
тогда
.
В силу линейности отображения
получим (12):
Следовательно,
.
Тогда коэффициенты разложения вектора
будут равны коэффициентам при единичных
векторах
,
т.е.
(13)
Наоборот, легко проверить, что всякое отображение , координаты которого имеют вид (13), является линейным оператором.
Определение
2. Матрица
в (13) называется матрицей
линейного оператора
.
Очевидно,
что если
есть матрица линейного оператора
,
то для произвольного вектора
имеет место разложение
.
Если
,
т.е. линейный оператор
отображает
во множество действительных чисел, то
он обычно называется линейным
функционалом
или линейной
функцией n-переменных.
В силу (13) это будет означать, что
.
Если
обозначить
,
то всякий функционал имеет вид
– скалярное
произведение.
Пример
4. Является
ли отображение
линейным.
Решение.
.
Следовательно, по определению 3 отображение не является линейным.
Пример
5. Является
ли отображение
линейным.
Решение.
.
Следовательно, отображение является линейным.
Пример 6. Является
ли отображение
линейным.
Решение.
.
Следовательно, по определению 3 отображение не является линейным.
Пример 7. Является
ли отображение
линейным.
Решение.
.
Следовательно, отображение не является линейным.
В
физических приложениях важным является
следующий частный
случай векторных отображений. Пусть
,
т.е.
и
.
Рассмотрим отображение
,
т.е. векторное
поле
,
где
– три скалярных функции трех переменных
или
.
Таким образом, каждой точке трехмерного
геометрического пространства
ставится
в соответствие вектор этого же
пространства. Примерами физических
векторных полей являются:
поле гравитации;
электрическое поле
;
магнитное поле
поле скорости жидкости
.
Пусть
и является предельной точкой множества
,
а
.
Отображение
задано функцией
.
Введем расстояние в
.
Расстояние в пространстве задано следующим образом:
.
Определение
3. Вектор
называют пределом
отображения
при
,
если для любого положительного
найдется такое неотрицательное число
,
что из выполнения условия
будет следовать выполнение неравенства
,
т.е.
.