Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

Выражения вроде 10 , 03 , 00 и т. п. останутся для нас символами, ли-

шенными смысла. Если бы мы допустили деление на 0, то из верного равенства 0 · 1 = 0 · 2 вывели бы неверное следствие 1 = 2. Иногда бывает целесообразно обозначать такие выражения символом «бесконечность»,

однако с условием, чтобы не делалось даже попытки оперировать этим символом так, как будто бы он подчинялся обычным законам арифметики.

Теперь нам ясны принципы, согласно которым сконструирована система всех рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных. В этой расширенной области не только полностью оправдываются формальные законы — ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный, — но и уравнения a + x = b и ax = b всегда имеют реше-

ния x = b − a и x = ab с единственной оговоркой, что в случае второго

уравнения a не должно равняться нулю. Иными словами, в области рациональных чисел так называемые рациональные операции — сложение, вычитание, умножение и деление — выполнимы неограниченно и не выводят за пределы области. Такие замкнутые числовые области называются полями. Мы повстречаемся с дальнейшими примерами полей ниже, в этой же главе, а также в главе III.

Расширение области посредством введения новых символов, совершаемое таким образом, что законы, которые имели место в первоначальной области, сохраняются и в расширенной, является типичным примером характерного для математики принципа обобщения. Переход путем обобщения от натуральных чисел к рациональным удовлетворяет одновременно и теоретической потребности в снятии ограничений, которые наложены на вычитание и деление, и вместе с тем — практической потребности в числах, пригодных для фиксации результатов измерений. Именно тот факт, что рациональные числа идут навстречу сразу теоретической и практической потребностям, придает им особую важность. Как мы видели, расширение понятия числа совершилось путем введения новых абстрактных симво-

лов вроде 0, −2 или 34 . В наше время мы оперируем этими символами

бегло и уверенно, не вдумываясь в их природу, и трудно даже себе представить, что еще в XVII столетии они пользовались доверием гораздо в меньшей степени, чем натуральные числа, что ими если и пользовались, то с известным сомнением и трепетом. Свойственное человеческому сознанию стремление цепляться за «конкретное» — воплощаемое в ряде натуральных чисел — обусловливает ту медленность, с которой протекала неизбежная эволюция. Логически безупречная арифметическая система может быть сконструирована не иначе, как в отвлечении от действительности.

3. Геометрическое представление рациональных чисел. Выразительное геометрическое представление системы рациональных чисел может быть получено следующим образом.

На некоторой прямой линии, «числовой оси», отметим отрезок от 0 до 1 (рис. 8). Тем самым устанавливается длина единичного отрезка, которая, вообще говоря, может быть выбрана произвольно. Положительные и отрицательные целые числа тогда изображаются совокупностью равноотстоящих точек на числовой оси, именно, положительные числа отмечаются вправо, а отрицательные — влево от точки 0. Чтобы изобразить числа со знаменателем n, разделим каждый из полученных отрезков единичной длины на n равных частей; точки деления будут изображать дроби со знаменателем n. Если сделать так для значений n, соответствующих всем натуральным числам, то каждое рациональное число будет изображено некоторой точкой числовой оси. Эти точки мы условимся называть «рациональными»; вообще, термины «рациональное число» и «рациональная точка» будем употреблять как синонимы.

Рис. 8. Числовая ось

В главе I, § 1 было определено соотношение неравенства A < B для натуральных чисел. На числовой оси это соотношение отражено следующим образом: если натуральное число A меньше, чем натуральное число B, то точка A лежит левее точки B. Так как указанное геометрическое соотношение устанавливается для любой пары рациональных точек, то естественно пытаться обобщить арифметическое отношение неравенства таким образом, чтобы сохранить этот геометрический порядок для рассматриваемых точек. Это удается, если принять следующее определение: говорят, что рациональное число A меньше, чем рациональное число B (A < B), или что число B больше, чем число A (B > A), если разность B − A положительна. Отсюда следует (при A < B), что точки (числа) между A и B — это те, которые одновременно > A и < B. Каждая такая пара точек A и B, вместе со всеми точками между ними, называется сегментом (или отрезком) и обозначается [A, B] (а множество одних только промежуточных точек —

интервалом (или промежутком), обозначаемым (A, B)).

Расстояние произвольной точки A от начала 0, рассматриваемое как положительное число, называется абсолютной величиной A и обознача-

ется символом

|A|.

Понятие «абсолютная величина» определяется следующим образом: если A > 0, то |A| = A; если A < 0, то |A| = −A. Ясно, что если числа A и B

§ 2 НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ 83

имеют один и тот же знак, то справедливо равенство |A + B| = |A| + |B|; если же A и B имеют разные знаки, то |A + B| < |A| + |B|. Соединяя эти два результата вместе, мы приходим к общему неравенству

|A + B| 6 |A| + |B|,

которое справедливо независимо от знаков A и B.

Факт фундаментальной важности выражается следующим предложением: рациональные точки расположены на числовой прямой всюду плотно. Смысл этого утверждения тот, что внутри всякого интервала, как бы он ни был мал, содержатся рациональные точки. Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения, достаточно взять число n

настолько большое, что интервал 0, n1 будет меньше, чем данный интервал (A, B); тогда по меньшей мере одна из точек вида mn окажется внутри

данного интервала. Итак, не существует такого интервала на числовой оси (даже самого маленького, какой только можно вообразить), внутри которого не было бы рациональных точек. Отсюда вытекает дальнейшее следствие: во всяком интервале содержится бесконечное множество рациональных точек. Действительно, если бы в некотором интервале содержалось лишь конечное число рациональных точек, то внутри интервала, образованного двумя соседними такими точками, рациональных точек уже не было бы, а это противоречит тому, что только что было доказано.

§2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы

1.Введение. Если мы станем сравнивать по величине два прямолинейных отрезка a и b, то не исключена возможность, что a содержится

вb в точности целое число раз r. В таком случае длина отрезка b очень просто выражается через длину отрезка a: длина b в r раз больше, чем длина a. Может случиться и так, что целого числа r, которое обладало бы указанным свойством, не существует; но при этом возможно, что, разделив

отрезок a на некоторое число, скажем n, равных частей каждая длины an и взяв целое число m таких частей, мы в точности получим отрезок b:

Если осуществляется соотношение вида (1), то говорят, что два отрезка a и b соизмеримы, так как они обладают некоторой «общей мерой»: таковой

является отрезок длины na , который содержится в отрезке a ровно n раз, а

в отрезке b ровно m раз. Некоторый отрезок b соизмерим или несоизмерим с отрезком a в зависимости от того, можно или нельзя подобрать два

таких натуральных числа m и n (n 6= 0), что имеет место равенство (1). Обращаясь к рис. 9, предположим, что в качестве отрезка a избран единичный отрезок [0, 1], и рассмотрим всевозможные отрезки, у которых один из концов совпадает с 0. Тогда из этих отрезков те и только те будут соизмеримы с единичным отрезком, у которых второй конец совпадает с

некоторой рациональной точкой mn .

Рис. 9. Рациональные точки

Для практической цели измерения рациональных чисел всегда совершенно достаточно. Даже с точки зрения теоретической, поскольку рациональные точки расположены всюду плотно, могло бы показаться, что все точки на числовой оси — рациональные. Если бы дело обстояло именно так, то всякий отрезок был бы соизмерим с единичным. Но дело обстоит не так просто, и в установлении этого обстоятельства заключается одно из самых поразительных открытий в математике: оно было сделано уже в древнейшие времена (в школе Пифагора). Существуют несоизмеримые отрезки, или иначе (если мы допустим, что каждому отрезку соответствует некоторое число, выражающее его длину), существуют иррациональные числа. Осознание этого факта было научным событием величайшей значимости, почти откровением. Весьма возможно, что именно оно положило начало тому, что мы теперь считаем строгим математическим методом и рассматриваем как вклад в науку, сделанный древними греческими математиками. Без сомнения, это замечательное открытие глубоко повлияло на всю математику и даже философию от древних времен и до наших дней.

Евдоксова теория несоизмеримых величин, изложенная в геометрической форме в «Началах» Евклида, представляет собой тончайшее достижение греческой математики (ее изложение обыкновенно пропускается в разжиженных пересказах Евклида, предназначенных для школьного обучения). Эта теория получила подобающую ей высокую оценку лишь в конце XIX столетия — после того как усилиями Д е д е к и н д а, К а н т о р а и В е й е р ш т р а с с а была создана строгая теория иррациональных чисел. Мы изложим в дальнейшем эту теорию в ее современном арифметическом аспекте.

Прежде всего установим: диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Предположим, что сторона квадрата избрана в качестве единицы длины, длину же диагонали обозначим через x. Тогда, согласно теореме Пифагора, мы получаем:

x2 = 12 + 12 = 2.

возможность измерения длин отрезков посредством чисел, и тот же принцип продолжает руководить нами и тогда, когда речь идет о несоизмеримых отрезках. Если мы требуем, чтобы существовало взаимное соответствие между числами, с одной стороны, и точками на прямой линии — с другой, то неизбежно приходится ввести в рассмотрение иррациональные числа.

Подводя итоги до сих пор сказанному, мы констатируем, что иррациональное число обозначает длину отрезка, несоизмеримого с единицей. В следующих разделах мы должны будем уточнить это несколько смутное и всецело геометрическое определение и в результате придем к определению, более удовлетворительному с точки зрения логической строгости. Рассматривая этот вопрос, мы будем вначале исходить из десятичных дробей.

Упражнения. 1) Докажите, что числа √3 2, √3, √5, √3 3 иррациональные. (Указание: воспользуйтесь леммой на стр. 71.)

2) Докажите, что числа √2 + √3 и √2 + √3 2 иррациональные. (Указание: если бы, например, первое из этих чисел было рациональным числом r, то, написав √3 = r − √2 и возведя в квадрат, мы заключили бы, что √2 есть рациональное число.) √ √ √

3) Докажите, что число 2 + 3 + 5 иррациональное. Попробуйте придумать еще подобные и более общие примеры.

2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные. Чтобы покрыть числовую ось везде плотным множеством точек, нет необходимости использовать всю совокупность рациональных чисел: достаточно, например, ограничиться только теми числами, которые возникают при подразделении единичного отрезка на 10, потом на 100, 1000 и т. д. равных частей. Получающиеся при этом точки деления соответствуют «десятичным

дробям». Так, числу 0,12 = 101 + 1002 соответствует точка, расположенная

в первом единичном интервале, во втором «подынтервале» длины 10−1, и именно она есть начальная точка третьего «подподынтервала» длины 10−2

a−n означает a1n . Если такого рода десятичная дробь содержит n знаков после запятой, то она имеет вид

f = z + a1 · 10−1 + a2 · 10−2 + a3 · 10−3 + . . . + an · 10−n,

где z — целое число, а коэффициенты a — цифры 0, 1, 2, . . . , 9, обозначающие число десятых, сотых и т. д. Сокращенно число f записывается в десятичной системе следующим образом: z,a1a2a3 . . . an. Мы убеждаемся непосредственно, что такого рода десятичные дроби могут представлены

виде обыкновенных дробей pq , где q = 10n; так, например,

§ 2 НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ 87

Если окажется, что p и q имеют общий множитель, то дробь можно сократить, и тогда знаменатель будет некоторым делителем числа 10n. С другой стороны, несократимая дробь, у которой знаменатель не есть делитель некоторой степени 10, не может быть представлена в виде десятичной

не может быть написана как десятичная дробь с конечным числом n де-

сятичных знаков, как бы ни было велико n: в самом деле, из равенства вида

13 = 10bn

следовало бы

10n = 3b,

а последнее равенство невозможно, так как 3 не входит множителем ни в какую степень числа 10.

Возьмем теперь на числовой оси какую-нибудь точку P, которая не соответствует никакой конечной десятичной дроби; можно, например, взять

рациональную точку 13 или иррациональную точку √2. Тогда в процес-

се последовательного подразделения единичного интервала на 10 равных частей точка P никогда не окажется в числе точек деления: она будет находиться внутри десятичных интервалов, длина которых будет неограниченно уменьшаться; концы этих интервалов соответствуют конечным десятичным дробям и приближают точку P с какой угодно степенью точности. Рассмотрим несколько подробнее этот процесс приближения.

Предположим, что точка P лежит в первом единичном интервале. Сделаем подразделение этого интервала на 10 равных частей, каждая длины 10−1, и предположим, что точка P попадает, скажем, в третий из этих интервалов. На этой стадии мы можем утверждать, что P заключена между десятичными дробями 0,2 и 0,3. Подразделяем снова интервал от 0,2 до 0,3 на 10 равных частей, каждая длины 10−2, и обнаружим, что P попадает, допустим, в четвертый из этих интервалов. Подразделяя его, как раньше, видим, что точка P попадает в первый интервал длины 10−3. Теперь можно сказать, что точка P заключена между 0,230 и 0,231. Этот процесс может быть продолжен до бесконечности и приводит к бесконечной последовательности цифр a1, a2, a3, . . . , an, . . ., обладающей таким свойством: каково бы ни было n, точка P заключена в интервале In, у которого началь-

ная точка есть 0,a1a2a3 . . . an−1an, а конечная — 0,a1a2a3 . . . an−1(an + 1), причем длина In равна 10−n. Если станем полагать по порядку n = 1, 2,

3, 4, . . ., то увидим, что каждый из интервалов I1, I2, I3, . . . содержится в предыдущем, причем их длины 10−1, 10−2, 10−3, . . . неограниченно уменьшаются. Мы скажем, более кратко, что точка P заключена в стягивающуюся последовательность десятичных интервалов. Например,

88 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

если точка P есть 13 , то все цифры a1, a2, a3, . . . равны 3, и P заключе-

на в любом интервале In от 0,333 . . . 33 до 0,333 . . . 34, т. е. 31 больше

чем 0,333 . . . 33 и меньше чем 0,333 . . . 34, сколько бы ни взять цифр после запятой. Мы скажем в этих обстоятельствах, что n-значная десятичная

дробь 0,333 . . . 33 «стремится к 31 », когда число цифр n неограниченно возрастает. И мы условимся писать

13 = 0,333 . . . ,

причем точки обозначают, что десятичная дробь может быть продлена «до бесконечности». √

Иррациональная точка 2, которая была рассмотрена в пункте 1, также приводит к бесконечной десятичной дроби. Но закон, которому подчиняются последовательные цифры десятичного разложения, на этот раз далеко не очевиден. Мы затрудняемся указать формулу, которая давала бы цифру, стоящую на n-м месте, хотя можно вычислить столько цифр, сколько мы пожелали бы себе заранее назначить:

12 = 1 < 2 < 22 = 4 (1,4)2 = 1,96 < 2 < (1,5)2 = 2,25

(1,41)2 = 1,9881 < 2 < (1,42)2 = 2,0264 (1,414)2 = 1,999396 < 2 < (1,415)2 = 2,002225

(1,4142)2 = 1,99996164 < 2 < (1,4143)2 = 2,00024449 и т. д.

В качестве общего определения мы скажем, что точка P, которая не может быть представлена в виде десятичной дроби с конечным числом десятичных знаков, представляется в виде бесконечной десятичной дроби z,a1a2a3 . . ., если, каково бы ни было n, точка P лежит в интервале длины 10−n с начальной точкой z,a1a2a3 . . . an.

Таким образом, мы устанавливаем соответствие между всеми точками числовой оси и всеми (конечными или бесконечными) десятичными дробями. Теперь мы попытаемся ввести предварительное определение: «число» есть конечная или бесконечная десятичная дробь. Те бесконечные десятичные дроби, которые не представляют рационального числа, называются иррациональными числами. До середины XIX столетия соображения, подобные приведенным выше, казались достаточными для объяснения того, как устроена система рациональных и иррациональных чисел — числовой континуум. Необычайные успехи математики, достигнутые начиная с XVII столетия, в частности, развитие аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений, твердо базировались

§ 2 НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ 89

именно на таком представлении о системе чисел. Однако в период критического пересмотра принципов и консолидации результатов стало ощущаться все более и более явственно, что понятие иррационального числа должно быть подвергнуто более точному и глубокому анализу. Но, прежде чем перейти к очерку современной теории числового континуума, нам придется рассмотреть и разобрать — на более или менее интуитивной основе — одно из математических понятий капитальной значимости — понятие предела.

Упражнение. Вычислите приближенно √3 2 и √3 5 с ошибкой, не превышающей 10−2.

3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии. Как мы видели в предыдущем пункте, иногда случается, что некоторое рациональное число s приближается последовательностью других рациональных чисел sn, причем индекс n принимает последовательно все значения 1, 2,

3, . . . Так, например, можно взять: s = 13 , тогда s1 = 0,3, s2 = 0,33, s3 =

0,333 и т. д. Вот еще пример. Разобьем единичный интервал на две равные части, вторую половину — снова на две равные части, вторую из полученных двух частей — снова на две равные части и т. д., пока наименьший из полученных таким образом интервалов не станет равным 2−n, где n — сколь угодно большое наперед заданное число, например, n = 100, n = 100000 и т. д. Затем, складывая вместе все интервалы, кроме самого последнего, мы получаем общую длину

1 n

Легко понять, что sn отличается от 1 на и что эта разность стано-

вится сколь угодно малой, или «стремится2к нулю», при неограниченном возрастании n. Говорить, что эта разность равна нулю, когда n равно «бесконечности», не имеет никакого смысла. Бесконечное в математике связывается с некоторым процессом, не имеющим конца, и никогда не связывается с актуальной величиной. Желая описать поведение sn, мы говорим, что сумма sn стремится к пределу 1, когда n стремится к бесконечности, и пишем

причем то, что возникает справа, есть бесконечный ряд. Последнее «равенство» не следует понимать в том смысле, что имеется в виду сложить вместе бесконечное число слагаемых: это только сокращенная запись того факта, что 1 есть предел конечных сумм sn, получающийся, когда n стремится к бесконечности (и ни в коем случае не равно бесконечности). Итак, равенство (4), заканчивающееся неопределенным символом «+ . . .»,