Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

Что такое математика?

Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее основные и взаимно противоположные элементы — логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки.

Без сомнения, движение вперед в области математики обусловлено возникновением потребностей, в большей или меньшей мере носящих практический характер. Но раз возникшее, оно неизбежно приобретает внутренний размах и выходит за границы непосредственной полезности. Совершающееся таким образом превращение прикладной науки в теоретическую наблюдается в истории древности, но не в меньшей степени также и в наши дни: достаточно принять во внимание тот вклад, который сделан в современную математику инженерами и физиками.

Самые ранние из дошедших до нас образцов математической мысли появились на Востоке: около двух тысячелетий до нашей эры вавилоняне собрали обширный материал, который мы склонны были бы в настоящее время отнести к элементарной алгебре. Но как наука в современном смысле слова математика возникает позднее на греческой почве, в пятом и четвертом столетиях до нашей эры. Все усиливающееся соприкосновение между Востоком и Грецией, начавшееся во времена Персидской империи и достигшее апогея в период, непосредственно следующий за экспедициями Александра Македонского, обеспечило грекам возможность перенять достижения вавилонян в области математики и астрономии. Математика не замедлила стать объектом философских дискуссий, обычных в греческих городах-государствах. Таким образом, греческие мыслители осознали значительные трудности, связанные с основными математическими концепциями — непрерывностью, движением, бесконечностью — и с проблемой измерения произвольных величин данными заранее единицами. Но обнаружилась и решимость преодолеть препятствия: возникшая в результате великолепного усилия мысли евдоксова теория геометрического континуума представляет собой такое достижение, которое можно поставить в один ряд только с современной теорией иррациональных чисел. От Евдокса идет аксиоматико-дедуктивное напрвление в математике, проявившееся вполне отчетливо в «Началах» Евклида.

Хотя теоретико-постулативная тенденция незыблемо остается одной из самых ярких особенностей греческой математики и, как таковая, оказала беспримерное влияние на дальнейшее развитие науки, тем не менее необходимо со всей энергией указать, что практические потребности и связь

с физической реальностью участвовали никак не в меньшей мере в создании античной математики и что изложению, свободному от евклидовой строгости, очень часто отдавалось предпочтение.

Не исключено, что именно слишком раннее открытие трудностей, связанных с «несоизмеримыми» величинами, помешало грекам развить искусство численных операций, сделавшее в предшествовавшие эпохи значительные успехи на Востоке. Вместо этого они стали искать пути в дебрях чистой аксиоматической геометрии. Так началось одно из странных блужданий в истории науки, и, может быть, были при этом упущены блестящие возможности. Почти на два тысячелетия авторитет греческой геометрической традиции задержал неизбежную эволюцию идеи числа и буквенного исчисления, положенных впоследстии в основу точных наук.

После периода медленного накопления сил — с возникновением в XVII столетии аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений — открылась бурная революционная фаза в развитии математики и физики. В XVII и XVIII вв. греческий идеал аксиоматической кристаллизации и систематической дедукции потускнел и утерял свое влияние, хотя античная геометрия продолжала высоко расцениваться. Логически безупречное мышление, отправляющееся от отчетливых определений и «очевидных», взаимно не противоречащих аксиом, перестало импонировать новым пионерам математического знания. Предавшись подлинной оргии интуитивных догадок, перемешивая неоспоримые заключения с бессмысленными полумистическими утверждениями, слепо доверяясь сверхчеловеческой силе формальных процедур, они открыли новый математический мир, полный несметных богатств. Но мало-помалу экстатическое состояние мысли, упоенной головокружительными успехами, уступило место духу сдержанности и критицизма. В XIX столетии осознание необходимости консолидировать науку, особенно в связи с нуждами высшего образования, после Французской революции получившего широкое распространение, повело к ревизии основ новой математики; в частности, внимание было направлено к дифференциальному и интегральному исчислениям и к уяснению подразумеваемого анализом понятия предела. Таким образом, XIX век не только стал эпохой новых успехов, но и был ознаменован плодотворным возвратом к классическому идеалу точности и строгости доказательств. В этом отношении греческий образец был даже превзойден. Еще один раз маятник качнулся в сторону логической безупречности и отвлеченности. В настоящее время мы еще, по-видимому, не вышли из этого периода, хотя позволительно надеяться, что установившийся прискорбный разрыв между чистой математикой и ее жизненными приложениями, неизбежный, по-видимому, во времена критических ревизий, сменится эрой более тесного единения. Приобретенный запас внутренних сил и, помимо всего прочего, чрезвычайное упрощение, достигаемое на основе ясного

понимания, позволяют сегодня манипулировать математической теорией таким образом, чтобы приложения не упускались из виду. Установить еще раз органическую связь между чистым и прикладным знанием, здоровое равновесие между абстрактной общностью и полнокровной конкретностью — вот как нам представляется задача математики в непосредственно обозримом будущем.

Здесь не место входить в подробный философский или психологический анализ математики. Хочется отметить все же некоторые моменты. Чрезмерное подчеркивание аксиоматико-дедуктивного характера математики представляется мне весьма опасным. Конечно, начало конструктивного творчества, интуитивное начало, являющееся источником наших идей и доводов в их пользу, с трудом укладываются в простые философские формулировки; и тем не менее именно это начало есть подлинная суть любого математического открытия, даже если оно относится к самым абстрактным областям. Если целью и является четкая дедуктивная форма, то движущая сила математики — это интуиция и конструкции. В допущении, что математика есть не более чем система следствий, извлекаемых из определений и постулатов, которые должны быть только совместимы между собой, а в остальном являются продуктом свободной фантазии математиков, таится серьезная угроза для самого существования науки. Если бы это было действительно так, математика была бы занятием, недостойным мыслящего человека. Она была бы просто игрой с определениями, правилами и силлогизмами, не имеющей ни причины, ни цели. Представление, согласно которому человеческий интеллект может творить лишенные какого бы то ни было смысла системы постулатов, есть обман, точнее, полуправда.

Получать результаты, имеющие научную ценность, свободный разум может, только подчиняясь суровой ответственности перед природой, только следуя некоей внутренней необходимости.

Хотя созерцательное направление логического анализа и не представляет всей математики, оно способствовало более глубокому пониманию математических фактов и их взаимозависимости и более ясному овладению существом математических понятий. Именно из этого направления выросла современная точка зрения на математику как на образец универсально приложимого научного метода.

Каких бы философских позиций мы ни придерживались, все задачи научного исследования сводятся к нашему отношению к воспринимаемым объектам и инструментам исследования. Конечно, восприятие само по себе еще не есть ни знание, ни понимание; нужно еще согласовать их между собой и истолковать в терминах некоторых лежащих за ними сущностей, «вещей в себе», не являющихся предметами непосредственно физического изучения, а принадлежащими к метафизической сфере. Но для научного метода существенным является отказ от метафизических умозрений и, в

конечном счете, представление всех наблюдаемых фактов в форме понятий и конструкций. Отказ от претензии понимания природы «вещей в себе», от постижения «окончательной истины», от разгадки внутренней сущности мира, быть может, будет психологически тягостен для наивных энтузиастов, но на самом-то деле этот отказ оказался в высшей степени плодотворным для развития современной научной мысли.

Некоторым из величайших открытий физики мы обязаны смелому следованию принципу устранения метафизики. Когда Эйнштейн попытался свести понятие «одновременных событий, происходящих в разных местах» к наблюдаемым явлениям, когда он понял, что вера в то, что это понятие само по себе непременно должно иметь какой-то точный смысл, есть попросту метафизический предрассудок, в этом открытии уже было заключено ядро его теории относительности. Когда Нильс Бор и его ученики вдумались в тот факт, что любое физическое наблюдение связано с взаимодействием между прибором и наблюдаемым объектом, то им стало ясно, что точное одновременное определение положения и скорости частицы в том смысле, в каком это понимается в физике, невозможно. Далеко идущие следствия этого открытия, составившие современную систему квантовой механики, хорошо известны ныне каждому физику. В XIX столетии господствовала идея, согласно которой механические силы и передвижения частиц в пространстве суть вещи в себе, а электричество, свет и магнетизм можно свести к механическим явлениям (или «объяснить» в механических терминах), подобно тому как это было сделано с теорией теплоты. Была выдвинута концепция гипотетической среды — так называемого «эфира»,— способной к не вполне понятным механическим передвижениям, представляющимся нам в качестве света или электричества. Постепенно выяснилось, что этот эфир принципиально ненаблюдаем, т. е. что это понятие принадлежит скорее метафизике, нежели физике. Вначале с сожалением, а затем с облегчением идея механического объяснения световых и электрических явлений — а вместе с ней и понятие эфира — была окончательно отброшена.

Подобная же ситуация, и даже еще более отчетливая, создалась и в математике. В течение столетий математики рассматривали интересующие их объекты — числа, прямые и т. д. — как некие субстанции, вещи в себе. Поскольку, однако, эти «сущности» упорно не поддавались попыткам точного описания их природы, математики девятнадцатого столетия стали понемногу укрепляться в мысли, что вопрос о значении этих понятий как субстанциальных объектов в рамках математики (да и где бы то ни было) просто не имеет смысла. Математические утверждения, в которые входят эти термины, относятся вовсе не к физической реальности; они лишь устанавливают взаимосвязи между математически «неопределимыми объектами» и правила оперирования с ними. Вопрос о том, чем «на самом

деле» являются точки, прямые и числа, не может и не должна обсуждать математическая наука. Действительно существенными и имеющими непосредственное касательство к «проверяемым» фактам являются структура и взаимосвязи между этими объектами: что две точки определяют прямую, что из чисел по определенным правилам получаются другие числа, и т. п. Ясное осознание необходимости отказа от представления об основных математических понятиях как о реально существующих предметах явилось одним из самых важных и плодотворных завоеваний современного аксиоматического развития математики.

К счастью, творческая мысль забывает о догматических философских верованиях, как только привязанность к ним становится на пути конструктивных открытий. И для специалистов, и для любителей не философия, а именно активные занятия самой математикой смогут дать ответ на вопрос: Что такое математика?

Г Л А В А I

Натуральные числа

Введение

Число — это основное понятие современной математики. Но что такое число? Если мы говорим, что 12 + 21 = 1, 12 · 12 = 14 или что (−1) · (−1) =

= 1, то какой смысл вкладывается в эти утверждения? В школе мы изучаем технику действий с дробями и с отрицательными числами, но, чтобы приобрести подлинное понимание того, как устроена система чисел, недостаточно ограничиваться элементарными сведениями и нужно пойти несколько дальше. Греки в древнее время в основу созданной ими математики положили геометрические концепции точки и прямой; руководящим принципом современной математики стало сведение в конечном счете всех утверждений к утверждениям, касающимся натуральных чисел 1, 2, 3, . . . «Бог создал натуральные числа, все прочее — дело рук человека». Этими словами Леопольд К р о н е к е р (1823–1891) определил тот прочный фундамент, на котором может быть построено здание математики.

Числа служат для того, чтобы считать объекты, входящие в состав тех или иных объединений или собраний. Числа решительно никак не связаны с индивидуальной характеристикой считаемых объектов. Так, число «шесть» есть результат абстрагирования, производимого при рассмотрении всевозможных совокупностей, состоящих из шести предметов: оно нисколько не зависит ни от специфических свойств этих объектов, ни от употребляемых символов (обозначений). Но абстрактный характер идеи числа становится ясным только на очень высокой ступени интеллектуального развития. В глазах детей числа всегда остаются соединенными с самими осязаемыми объектами — допустим, пальцами или камешками; в языках народов числа также трактуются конкретно: для обозначения предметов различных типов употребляются различные сочетания числительных.

Мы воспользуемся тем, что математик (как таковой) не обязан заниматься философской проблемой перехода от совокупностей конкретных предметов к абстрактному понятию числа. Мы примем поэтому натуральные числа как данные вместе с двумя основными операциями, над ними совершаемыми: сложением и умножением.

§ 1. Операции над целыми числами

1. Законы арифметики. Математическую теорию натуральных

(иначе, целых положительных) чисел называют арифметикой. Эта теория основана на том факте, что сложение и умножение целых чисел подчинены некоторым законам. Чтобы сформулировать эти законы во всей их общности, нельзя воспользоваться символами вроде 1, 2, 3, относящимися к определенным, конкретным числам. Утверждение

1 + 2 = 2 + 1

есть только частный случай общего закона, содержание которого заключается в том, что сумма двух чисел не зависит от порядка, в котором мы рассматриваем эти числа. Если мы хотим выразить ту мысль, что некоторое соотношение между целыми числами имеет место (оправдывается, осуществляется), каковы бы ни были рассматриваемые числа, то будем обозначать их символически, т. е. условно, буквами a, b, c, . . . Раз такого рода соглашение принято, сформулировать пять основных законов арифметики — очевидно, близко знакомых читателю — не представит труда:

1) a + b = b + a, 2) ab = ba, 3) a + (b + c) = (a + b) + c, 4) a(bc) = (ab)c, 5) a(b + c) = ab + ac.

Два первых закона — коммутативный (переместительный) закон сложения и коммутативный закон умножения — говорят, что при сложении и при умножении можно менять порядок чисел, над которыми совершается действие. Третий — ассоциативный (сочетательный) закон сложения — гласит, что при сложении трех чисел получается один и тот же результат независимо от того, прибавим ли мы к первому числу сумму второго и третьего, или прибавим третье к сумме первого и второго. Четвертый закон есть ассоциативный закон умножения. Последний — дистрибутивный (распределительный) закон — устанавливает то обстоятельство, что при умножении суммы на некоторое целое число можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Эти арифметические законы совсем просты и, пожалуй, могут показаться очевидными. Но следует все же заметить, что к иного рода объектам — не к целым числам — они могут оказаться и неприменимыми. Например, если a и b обозначают не числа, а химические вещества и если «сложение» понимается в смысле обычной речи, то легко понять, что коммутативный закон сложения не всегда оправдывается. В самом деле, если, скажем, к воде будем прибавлять серную кислоту, то получится разбавленный раствор, тогда как прибавление воды к чистой серной кислоте может закончиться неблагополучно для экспериментатора. С помощью таких же иллюстраций можно показать, что в химической «арифметике» иногда нарушаются и ассоциативный, и дистрибутивный законы сложения.

Итак, можно вообразить и такие типы арифметических систем, в которых один или несколько законов 1)–5) теряют силу. Такие системы действительно изучались современной математикой. Основа, на которой покоятся законы 1)–5), дается конкретной моделью для абстрактного понятия целого числа. Вместо того чтобы пользоваться обыкновенными знаками 1, 2, 3 и т. д., станем обозначать число предметов в данной совокупности (например, яблок на данном дереве) системой точек в четырехугольном «ящичке» — таким образом, чтобы каждому предмету соответствовало по одной точке. Оперируя этими ящичками, мы сможем исследовать законы арифметики целых чисел. Чтобы сложить два целых числа a и b, мы сдвигаем вместе соответствующие+ ящички =и затем уничтожаем перегородку.

Рис. 1. Сложение

Чтобы умножить a на b, мы выстроим точки в двух ящичках в ряд и затем устроим новый ящичек, в котором точки будут расположены так, что образуют a горизонтальных и b вертикальных рядов. И тогда ясно видно, что правила 1)–5) выражают интуитивно очевидные свойства введенных операций с ящичками.

× =

Рис. 2. Умножение

=

× +

Рис. 3. Дистрибутивный закон

На основе определения сложения двух целых чисел можно теперь дать определение неравенства. Каждое из двух эквивалентных утверждений, именно a < b («a меньше, чем b») и b > a («b больше, чем a»), обозначает, что ящичек b может быть получен из ящичка a посредством прибавления надлежащим образом выбранного третьего ящичка c таким образом, что b = a + c. Если это так, то мы напишем

c = b − a, чем и определяется операция вычитания.

− =

Рис. 4. Вычитание

Сложение и вычитание называют обратными операциями, так как если, например, к числу a прибавить число d, а затем из того, что получится, отнять d, то получится снова исходное число a:

(a + d) − d = a.

Нужно заметить, что число b − a было определено только при условии b > a. Значение символа b − a как отрицательного целого числа при условии b < a будет рассмотрено далее (стр. 79 и след.). Часто бывает удобно пользоваться обозначением b > a («b больше или равно a») или a 6 b («a меньше или равно b», «a не превосходит b»), понимая под этим не что иное, как отрицание того, что a > b. Таким образом, можно написать 2 > 2, и можно также написать 3 > 2.

Мы можем еще несколько расширить область положительных целых чисел, которые мы изображаем ящичками с точками. Введем целое число нуль, изображаемое совершенно пустым ящичком; условимся обозначать такой пустой ящичек обычным символом 0. Тогда, согласно нашему определению сложения и умножения, каково бы ни было целое число a,

Действительно, a + 0 обозначает прибавление пустого ящичка к ящичку a, а a · 0 обозначает ящичек, в котором вовсе нет вертикальных рядов, т. е. пустой ящичек. Тогда уже вполне естественно расширить определение вы-

читания, полагая

a − a = 0

при любом a. Таковы характерные арифметические свойства нуля. Геометрические модели вроде ящичков с точками (сюда относится древ-

ний абак) широко применялись при арифметических вычислениях вплоть до конца средневековья и только мало-помалу уступили место гораздо более совершенным символическим методам, основанным на десятичной системе.

2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация). Необходимо очень тщательно делать различие между целым числом и тем символом (например, 5, V и т. п.), которым пользуются для его письменного воспроизведения. В нашей десятичной системе нуль и девять целых натуральных чисел обозначаются цифрами 0, 1, 2, 3, . . . , 9. Числа большей величины, как, скажем, «триста семьдесят два», представляются

в виде

300 + 70 + 2 = 3 · 102 + 7 · 10 + 2

и в десятичной системе записываются символом 372. Существенно в данном случае то, что смысл каждой из цифр 3, 7, 2 зависит от ее положения — от того, стоит ли она на месте единиц, десятков или сотен. Используя «поместное значение» цифр (позиционный принцип), мы имеем возможность изобразить любое натуральное число с помощью всего лишь десяти цифр в их различных комбинациях. Общее правило такого изображения дается схемой, которая иллюстрируется примером

z = a · 103 + b · 102 + c · 10 + d,

где a, b, c, d представляют собой целые числа в пределах от нуля до девяти. Число z в этом случае сокращенно обозначается символом

abcd.

Заметим, между прочим, что коэффициенты d, c, b, a являются не чем иным, как остатками при последовательном делении числа z на 10. Так, например,

73 10

3 0

С помощью написанного выше выражения для числа z можно изображать только те числа, которые меньше десяти тысяч, так как числа большие, чем десять тысяч, требуют пяти или большего числа цифр. Если z есть число, заключенное между десятью тысячами и ста тысячами, то его можно представить в виде

z = a · 104 + b · 103 + c · 102 + d · 10 + e

и записать символически как abcde. Подобное же утверждение справедливо относительно чисел, заключенных между ста тысячами и одним миллионом, и т. д. Чрезвычайно важно располагать способом, позволяющим высказать результат, к которому мы приходим, во всей его общности посредством одной-единственной формулы. Мы можем добиться этой цели, если обозначим различные коэффициенты e, d, c, . . . одной и той же буквой a с различными значками (индексами) a0, a1, a2, . . ., а то обстоятельство, что степени числа 10 могут быть сколь угодно большими, выразим тем, что высшую степень числа 10 обозначим не 103 или 104, как в предыдущих примерах, а станем писать 10n, понимая под n совершенно произвольное натуральное число. В таком случае любое целое число z в десятичной системе может быть представлено в виде

и записано посредством символа

anan−1an−2 . . . a1a0.