Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

Рис. 54. Циклоиды общего вида

Эти две кривые показаны на рис. 54.

Дальнейшие разновидности циклоиды возникают, когда наш диск катится не по прямой, а по дуге окружности. Если при этом катящийся диск с радиусом r остается все время касающимся изнутри той большой окружности C радиуса R, по которой он катится, то траектория точки, фиксированной на окружности диска, называется гипоциклоидой.

Когда диск прокатывается по всей окружности C ровно один раз, то точка P возвращается в исходное положение только в том случае, если радиус C является кратным радиуса c. На рис. 55 изображена замкнутая гипоциклоида, соответствующая предположению R = 3r. В более общем

случае, если R = mn r, то гипоциклоида замкнется после того, как диск c

прокатится по окружности C ровно n раз, и будет состоять из m арок. Заслуживает особого упоминания случай R = 2r. Любая точка P на окружности диска будет описывать в этом случае один из диаметров большой окружности C (рис. 56). Предоставляем читателю доказать это в качестве задачи.

Еще один тип циклоид получается, когда диск c катится по окружности C, касаясь ее все время извне. Получающиеся при этом кривые носят название эпициклоид.

*4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта. Оставим на время в стороне вопрос о циклоидах (они появятся еще раз в этой книге — довольно неожиданно) и обратимся к иным методам механического воспроизведения кривых линий. Мы займемся сейчас шарнирными механизмами.

Механизм этого типа представляет собой систему сочлененных между собой твердых стержней, обладающих такой степенью свободы, чтобы каждая его точка была способна описывать определенную кривую. Циркуль также является простейшим шарнирным механизмом, по существу состоящим из одного стержня с закрепленным концом.

Рис. 57. Преобразование прямолинейного движения во вращательное

Шарнирные механизмы издавна находят себе применение как составные части машин. Одним из самых знаменитых (в историческом отношении) примеров является так называемый «параллелограмм Уатта». Это приспособление было изобретено Джемсом Уа т т о м при решении следующей проблемы: как связать поршень с точкой махового колеса таким образом, чтобы вращение колеса сообщало поршню прямолинейное движение? Решение, данное Уаттом, было лишь приближенным, и, несмотря на усилия многих первоклассных математиков, проблема конструирования механизма, сообщающего точке в точности прямолинейное движение, долгое время оставалась нерешенной. Было даже сделано предположение, что такой механизм неосуществим: это было как раз тогда, когда всякого рода «доказательства невозможности» привлекли к себе всеобщее внимание. Тем большее изумление было вызвано в кругах математиков, когда французский морской офицер П о с е л ь е (в 1864 г.) все же изобрел несложный механизм, действительно разрешающий проблему в положи-

тельном смысле. В связи с введением в употребление хорошо действующих смазочных веществ техническая проблема потеряла свое значение для паровых машин.

S

P

O T Q

R

Рис. 58. Инверсор Поселье, преобразующий вращательное движение в прямолинейное

Назначение механизма Поселье заключается в том, чтобы превращать круговое движение в прямолинейное. В основе этого механизма лежит теория инверсии, изложенная в § 4. Как видно из рис. 58, механизм состоит из семи жестких стержней, два из них — длины t, четыре — длины s и один — произвольной длины. Точки O и R закреплены и расположены таким образом, что OR = PR. Весь аппарат может быть приведен в движение, будучи подчинен указанным условиям. Мы сейчас убедимся, что, когда точка P описывает дугу окружности с центром R и радиусом RP, точка Q описывает прямолинейный отрезок. Обозначая основание перпендикуляра, опущенного из точки S на прямую OPQ, через T, мы замечаем, что

OP · OQ = (OT − PT) · (OT + PT) = OT2 − PT2 =

= (OT2 + ST2) − (RT2 + ST2) = t2 − s2. (3)

Величина t2 − s2 постоянная; положим t2 − s2 = r2. Так как OP · OQ = r2, то точки P и Q взаимно обратные относительно окружности с центром O и радиусом r. В то время как P описывает дугу окружности, проходящей через O, Q описывает кривую, обратную этой дуге. Но кривая, обратная окружности, проходящей через O, есть, как мы видели, не что иное, как прямая линия. Итак, траектория точки Q есть прямая, и инверсор Поселье чертит эту прямую без линейки.

Другой механизм, решающий ту же проблему, есть инверсор Гарта. Он состоит всего лишь из пяти стержней, сочленение которых показано на рис. 59. Здесь AB = CD, BC = AD. Через O, P и Q обозначены точки, соответственно зафиксированные на стержнях AB, AD и CB, притом таким

образом, что OBAO = PDAP = CQQB = mn . Точки O и S закреплены на плоско-

сти неподвижно, с соблюдением условия OS = PS. Больше связей нет, и механизм способен двигаться. Очевидно, прямая AC всегда параллельна

прямой BD. В таком случае точки O, P и Q лежат на одной прямой, и прямая OP параллельна прямой AC. Проведем перпендикуляры AE и CF к прямой BD. Мы имеем

AC · BD = EF · BD = (ED + EB) · (ED − EB) = ED2 − EB2.

Но ED2 + AE2 = AD2 и EB2 + AE2 = AB2. Значит, ED2 − EB2 = AD2 −

− AB2. Далее,

Следовательно,

Последняя полученная величина не изменяется при движении механизма. Поэтому точки P и Q являются взаимно обратными относительно некоторого круга с центром O. При движении механизма точка P описывает окружность с центром S, проходящую через O; значит, обратная точка Q описывает прямую линию.

Можно построить — по крайней мере теоретически — другие шарнирные механизмы, которые будут чертить эллипсы, гиперболы и даже любую наперед заданную алгебраическую кривую f(x, y) = 0, какова бы ни была ее степень.

§6. Еще об инверсии и ее применениях

1.Инвариантность углов. Семейства окружностей. Хотя круговая инверсия есть преобразование, довольно резко меняющее внешний вид геометрических фигур, все же весьма замечательным является то обстоятельство, что вновь получаемые фигуры сохраняют некоторые свойства первоначальных фигур. Эти свойства, не теряющиеся при преобразовании, называются инвариантными. Мы уже знаем, что при инверсии окружность или прямая переходит в окружность или прямую. Прибавим теперь еще одно важное свойство инверсии: угол между двумя прямыми или кривыми при инверсии не изменяется. Говоря подробнее, это означает, что инверсия преобразовывает две пересекающиеся кривые в две другие кривые, которые пересекаются под тем же углом. Под углом между кривыми подразумевается угол между их касательными.

y

A′

Рис. 60. Инвариантность углов при инверсии

Доказательство получается при рассмотрении рис. 60, где имеется в виду частный случай пересечения в точке P произвольной кривой C с прямолинейным отрезком OL, проведенным из центра инверсии O. Кривая C′, обратная кривой C, пересекается с OL в точке P′, обратной P, так как P′, так же как и P, лежит на OL. Покажем, что угол x0 между OL и касательной к C в точке P по величине равен углу y0 между OL и касательной к C′ в точке P′. Для этого возьмем точку A на кривой C вблизи P и проведем секущую AP.

Точка, обратная A, есть A′; так как она находится на прямой OA и на кривой C′, то является их точкой пересечения. Проведем также секущую A′P′. По определению инверсии, r2 = OP · OP′ = OA · OA′, или же

OP OA′ ,

OA = OP′

т. е. треугольники OAP и OA′P′ подобны. Значит, угол x равен углу OA′P′, который мы обозначим через y. Последний шаг в нашем рассуждении заключается в том, чтобы заставить точку A приближаться по кривой C

кточке P. При этом секущая AP переходит в касательную к кривой C в точке P, и угол x стремится к x0. В то же время A′ будет приближаться

кP′ и прямая A′P′ перейдет в касательную к кривой C′ в точке P′, а угол y

будет стремиться к y0. Так как при всяком положении точки A мы имеем равенство x = y, то оно сохранится и в пределе x0 = y0.

Наше доказательство еще не закончено, так как мы рассмотрели пока только случай пересечения кривой C с прямой, проходящей через центр O. Но рассмотреть общий случай пересечения двух произвольных кривых C и C теперь уже совсем легко. Пусть эти кривые пересекаются в точке P и образуют между собой угол z. Тогда прямая OPP′ делит этот угол на два угла, из которых каждый в отдельности не изменяется при инверсии.

Следовало бы оговорить, что, хотя инверсия не изменяет величины угла, она, однако, изменяет направление его отсчета: если вообразим, что при постоянном увеличении угла x0 одна сторона его неподвижна, а другая вращается против часовой стрелки, то подвижная сторона соответствующего «обратного» угла вращается по часовой стрелке.

Частным следствием инвариантности углов при инверсии является то, что две ортогональные (т. е. пересекающиеся под прямым углом) окружности или прямые после инверсии сохраняют это свойство, и если две окружности взаимно касаются («пересекаются под углом, равным нулю»), то касаются и обратные им окружности.

Рассмотрим семейство окружностей, проходящих через центр инверсии O и еще через одну и ту же неподвижную точку плоскости A. Мы знаем (§ 4, пункт 2), что это семейство преобразуется в семейство прямых, проходящих через точку A′, являющуюся образом A. В то же время семейство окружностей, ортогональных первоначальному семейству, превращается в семейство окружностей, ортогональных упомянутому семейству прямых. (На рис. 61 ортогональные семейства изображены пунктиром.) Внешне семейство прямых, проходящих через одну и ту же точку, мало напоминает семейство окружностей, но эти семейства связаны теснейшим образом — с точки зрения теории инверсии они, так сказать, вполне эквивалентны.

Вот другой пример того, к каким результатам приводит инверсия. Пусть дано семейство окружностей, проходящих через центр инверсии и имеющих

в этой точке общую касательную. После инверсии получается семейство параллельных прямых. Действительно, так как окружности проходят через O, то они превращаются в прямые, и так как окружности не имеют точек пересечения кроме O, то получаемые прямые параллельны.

O A

A′

Рис. 61. Преобразование двух систем ортогональных окружностей с помощью инверсии

C

C

B

A B

A

Рис. 62. Преобразование касающихся окружностей в параллельные прямые

2. Применение к проблеме Аполлония. Прекрасной иллюстрацией того, насколько полезна теория инверсии, является следующее простое геометрическое решение проблемы Аполлония. При инверсии относительно какого бы то ни было центра проблема Аполлония для трех данных окружностей трансформируется в соответствующую проблему для трех других окружностей: пусть читатель внимательно продумает, почему это так.

Отсюда легко понять, что если проблема решена для некоторой тройки окружностей, то тем самым ее можно считать решенной и для всякой тройки окружностей, которая из первой тройки может быть получена путем

инверсии. Мы сумеем использовать это обстоятельство, выбирая из всевозможных «эквивалентных» троек такую, для которой проблема решается особенно просто.

B C B K C

O O

U

A A

Рис. 63. Подготовка построения, решающего проблему Аполлония

Предположим для определенности, что три данные окружности с центрами A, B, C взаимно не пересекаются и лежат каждая вне двух других, и допустим, что речь идет о нахождении окружности U с центром O и радиусом r, касающейся трех данных окружностей внешним образом. Заметим, что если мы увеличим радиус всех

торую обозначим K (рис. 63). Затем произведем инверсию всей фигуры относительно какой-нибудь окружности с центром K. Окружности с центрами B и C станут параллельными прямыми b и c, а третья окружность превратится в некоторую окружность a (рис. 64). Мы уже знаем, что a, b, c могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Что касается искомой окружности U, то она преобразуется в окружность u,

§ 6 ЕЩЕ ОБ ИНВЕРСИИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯХ 189

касающуюся прямых b, c и окружности a. Ее радиус r, очевидно, должен равняться половине расстояния между прямыми b и c; центр же ее O′ должен совпадать с одной из точек пе-

щенная точка создает бесконечное множество отражений, по одному на каждую из прямоугольных комнат, возникающих из первой посредством отражений (рис. 65). При менее правильной форме соединения зеркал, например при трех зеркалах, создается более сложная система отражений.

Рис. 66. Правильные системы треугольных зеркал

Получающуюся конфигурацию легко описать только в том случае, если отраженные треугольники, не перекрывая друг друга, полностью покрывают плоскость. Таким свойством обладают только прямоугольный равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник и прямоугольный треугольник, представляющий собою половину равностороннего (рис. 66).

Еще более курьезные обстоятельства возникают, если мы станем рассматривать повторные инверсии относительно пары окружностей.