Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

проходят все лучи, выходящие из O и параллельные плоскости p. Самой прямой m′ соответствует бесконечно удаленная прямая плоскости p. Таким образом, посредством введения в плоскости бесконечно удаленных точек и прямой достигается то, что проекция одной плоскости на другую устанавливает такое соответствие между точками и прямыми двух плоскостей, которое взаимно однозначно без всяких исключений. (Так устраняются исключения, упомянутые в сноске на стр. 199.) Далее, легко понять, что из принятых соглашений вытекает следствие: точка лежит на прямой, если проекция точки лежит на проекции прямой. Отсюда видно, что все теоремы, относящиеся к коллинеарным точкам, конкуррентным прямым и т. д. и говорящие только о точках, прямых и отношениях инцидентности, инвариантны относительно проектирования в расширенном смысле. Это дает возможность оперировать с бесконечно удаленными точками плоскости p, заменяя их соответствующими получающимися при проектировании обыкновенными точками плоскости p′.

l p

A O

m′

B′

p′

Рис. 83. Возникновение бесконечно удаленных элементов при проектировании

* Можно воспользоваться интерпретацией бесконечно удаленных точек плоскости p с помощью проектирования из внешней точки O на обыкновенные точки другой плоскости p′, чтобы получить конкретную евклидову «модель» расширенной плоскости. Для этого не будем обращать внимания на плоскость p′, а сосредоточимся на плоскости p и прямых, проходящих через O. Каждой обыкновенной точке p соответствует прямая, проходящая через O, непараллельная p; каждой бесконечно удаленной точке p —

прямая, проходящая через O, параллельная p. Итак, совокупности всех точек p, обыкновенных и идеальных, соответствует совокупность прямых, проходящих через O, и это соответствие взаимно однозначно без всяких исключений. Точки на некоторой прямой в плоскости p переходят в прямые на плоскости, проходящей через O. Точка и прямая в плоскости p инцидентны в том и только в том случае, если инцидентны соответствующие прямая и плоскость, проходящие через O. Другими словами, геометрия инцидентности точек и прямых в расширенной плоскости совершенно равносильна геометрии инцидентности обыкновенных прямых и плоскостей, проходящих через фиксированную точку пространства.

Положение вещей в трехмерном пространстве вполне аналогично, хотя отпадает возможность пользоваться наглядным аппаратом проектирования. Здесь тоже мы вводим особую бесконечно удаленную точку, связанную с каждым семейством параллельных прямых. В каждой плоскости имеется бесконечно удаленная прямая. Затем вводится новый элемент — бесконечно удаленная плоскость, состоящая из всех бесконечно удаленных точек пространства и содержащая все бесконечно удаленные прямые. С бесконечно удаленной плоскостью каждая обыкновенная плоскость пересекается по своей собственной бесконечно удаленной прямой.

3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами. Еще одно замечание следует сделать по поводу двойных отношений с бесконечно удаленными элементами. Будем обозначать символом ∞ бесконечно удаленную точку на прямой l. Посмотрим, как определяется сим-

Рис. 84. Двойное отношение с участием бесконечно удаленной точки

вол (ABC∞), если A, B, C — три обыкновенные точки на l. Пусть P — некоторая точка на l; тогда (ABC∞) рассматривается как предел (ABCP), когда P удаляется в бесконечность по l. Но

(ABCP) = CBCA : PBPA ,

(ABC∞) = CBCA .

В частности, если (ABC∞) = 1, то C есть середина отрезка AB: средняя точка отрезка и бесконечно удаленная точка, взятая в направлении отрезка, делят отрезок гармонически.

Упражнение. Что представляет собой двойное отношение четырех прямых l1, l2, l3, l4, если они параллельны? Что получится, в частности, с этим двойным отношением, если в качестве l4 будет взята бесконечно удаленная прямая?

§5. Применения

1.Предварительные замечания. После введения бесконечно удаленных элементов уже нет необходимости явно оговаривать все исключительные случаи параллельности, возникающие при построениях и доказательствах теорем. Достаточно помнить, что если точка является бесконечно удаленной, то все проходящие через нее прямые параллельны. Отпадает и необходимость делать различие между центральной и параллельной проекциями, так как параллельная проекция есть не что иное, как проекция

Рис. 85. Дезаргова конфигурация с центром в бесконечности

из бесконечно удаленной точки. На рис. 72 точка O или прямая PQR могут оказаться бесконечно удаленными (рис. 85 изображает первый из упомянутых случаев); мы предоставляем читателю в качестве упражнения сформулировать в «финитных» (т. е. не содержащих упоминания о бесконечности) терминах соответствующие утверждения дезарговой теоремы.

Не только формулировка, но и доказательство теоремы, принадлежащей проективной геометрии, нередко упрощаются в результате введения бесконечно удаленных элементов. Общий принцип заключается в следующем. Условимся под «проективным классом» некоторой геометрической

фигуры F понимать класс всех фигур, в которые F может быть переведена проективными преобразованиями. Проективные свойства F ничем не отличаются от проективных свойств любой фигуры ее проективного класса, так как по самому определению проективные свойства сохраняются при проектировании. Таким образом, любая проективная теорема (т. е. теорема, говорящая только о проективных свойствах), которая верна для фигуры F, будет также верна для любого «представителя» проективного класса этой фигуры, и обратно. Поэтому, чтобы доказать такую теорему для F, достаточно доказать ее для некоторого «представителя» проективного класса F. Мы можем воспользоваться указанным обстоятельством и выбрать такого «представителя», для которого доказательство проще, чем для самой фигуры F. Например, произвольные две точки A, B плоскости p могут быть спроектированы в бесконечность из данного центра O, если проектировать на плоскость, параллельную плоскости, проходящей через точки O, A, B; прямые, проходящие через A или через B, при этом превратятся в семейства параллельных прямых. Именно такое предварительное преобразование мы выполним при доказательстве проективных теорем, которыми займемся в этом параграфе.

B

B C D

O

A

D A C O

Рис. 86. Подобие треугольников, образованных параллельными прямыми

В дальнейшем нам придется воспользоваться следующим обстоятельством, относящимся к параллельным прямым. Пусть две прямые, проходящие через точку O, пересекаются прямыми l1 и l2 в точках A, B, C, D,

как показано на рис. 86. Если прямые l1 и l2 параллельны, то OCOA = ODOB ; и

обратно, если выполнено последнее соотношение, то прямые l1 и l2 параллельны. Доказательство, вытекающее из элементарных свойств подобных треугольников, предоставляется читателю.

2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. Докажем теперь,

не прибегая к пространственному проектированию, что если два треугольника ABC и A′B′C′ расположены на плоскости так, как изображено на рис. 72, т. е. если прямые, соединяющие соответствующие вершины, встречаются в одной и той же точке, то точки пересечения

так что 16 k 34, что и требовалось доказать.

r

2 3

2 x

a

1На стр. 236 будет рассмотрена более общая теорема этого же типа. Настоящий частный случай связывается также с именем П а п п а Александрийского (III столетие до нашей эры).

§6. Аналитическое представление

1.Вводные замечания. В раннем периоде развития проективной геометрии существовала настойчиво проводимая тенденция выполнять все построения на синтетической или, как говорилось, «чисто геометрической» основе, вовсе избегая применения чисел и алгебраических методов. Выполнение этой программы встретило на своем пути большие затруднения, так как всегда оставались какие-то пункты, в которых алгебраические

формулировки казались неизбежными. Полный успех в построении чисто синтетической проективной геометрии был достигнут только к концу XIX в. и только ценой значительных осложнений. В этом отношении методы аналитической геометрии оказались гораздо более плодотворными. Для современной математики характерна иная тенденция — положить в основу построения понятие числа, и в геометрии эта тенденция, идущая от Ферма и Декарта, возымела решительный триумф. Аналитическая геометрия перестала быть подсобным аппаратом, играющим служебную роль в геометрических рассуждениях, и стала самостоятельной областью, в которой интуитивная геометрическая интерпретация операций и результатов уже не является последней и окончательной целью, а принимает на себя функцию руководящего принципа, помогающего угадывать и понимать аналитические факты. Такое изменение значения геометрии есть последствие постепенного развития геометрии в историческом плане — развития, широко раздвинувшего рамки классических концепций; оно же обусловило вместе с тем почти органическое слияние геометрии и анализа.

В аналитической геометрии под «координатами» геометрического объекта понимается какая угодно совокупность чисел, позволяющая определить этот объект однозначно. Так, точка определяется своими прямоугольными координатами x, y или своими полярными координатами r, j; с другой стороны, например, треугольник определяется координатами трех вершин, что в целом составляет шесть координат. Мы знаем, что прямая линия в плоскости x, y представляет собой геометрическое место всех точек P(x, y) (об обозначениях см. стр. 99), координаты которых удовлетворяют некоторому линейному уравнению

Поэтому можно три числа a, b, c назвать «координатами» этой прямой. Например, a = 0, b = 1, c = 0 определяют прямую y = 0, т. е. ось x; a = 1, b = −1, c = 0 определяют прямую x = y, которая делит пополам угол между положительной осью x и положительной осью y. Таким же образом следующие уравнения определяют «конические сечения»: x2 + y2 = r2 — окружность радиуса r с центром в начале координат, (x − a)2 + (y − b)2 =

= r2 — окружность радиуса r с центром (a, b), x2 + y2 = 1 — эллипс и т. д. a2 b2

Более или менее наивный подход к аналитической геометрии заключается в том, чтобы, отправляясь от чисто «геометрических» представлений — точка, прямая и т. д., — переводить их затем на язык чисел. Современная точка зрения противоположна. Мы отправляемся от множества всевозможных пар чисел x, y и называем каждую такую пару точкой, так как можем, если пожелаем, наглядно интерпретировать такую пару чисел с помощью общедоступного понятия геометрической точки. Точно

так же прямая линия является геометрическим представлением или интерпретацией линейного уравнения, связывающего x и y. Указанный перенос акцента от интуитивного понимания геометрии к аналитическому открывает возможность, в частности, простой и вполне строгой трактовки бесконечно удаленных точек в проективной геометрии; он же необходим для более глубокого проникновения в эту область. Для тех читателей, которые обладают достаточной предварительной математической подготовкой, мы дадим теперь некоторый очерк применения аналитических методов в проективной геометрии.

*2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности. В обыкновенной аналитической геометрии прямоугольными координатами точки на плоскости являются снабженные знаками расстояния точки от двух взаимно перпендикулярных осей. Но в такой системе координат не находится места для бесконечно удаленных точек расширенной проективной плоскости. Поэтому, если мы хотим пользоваться аналитическими методами в проективной геометрии, то необходимо найти такую координатную систему, которая смогла бы включить идеальные точки наравне с обыкновенными. Легче всего дать описание такой координатной системы, если представить себе данную плоскость X, Y (которую будем обозначать через p) расположенной в трехмерном пространстве с прямоугольными координатами x, y, z (эти буквы обозначают снабженные знаками расстояния точки от трех координатных плоскостей, образованных осями x, y и z). Представим себе, что плоскость p параллельна координатной плоскости x, y и находится на расстоянии 1 от нее, так что трехмерные координаты точки P в плоскости p будут (X, Y, 1). Принимая начало O координатной системы за центр проектирования, заметим, что всякой точке P взаимно однозначно соответствует некоторая прямая OP, проходящая через начало координат (см. стр. 105). В частности, бесконечно удаленным точкам плоскости p соответствуют прямые, проходящие через O и параллельные p.

Посмотрим теперь, что же представляет собой система однородных координат для точек плоскости p. Чтобы найти однородные координаты обыкновенной точки P в этой плоскости, возьмем прямую OP и на ней выберем произвольную точку Q, отличную от O (рис. 93). Обыкновенные трехмерные координаты x, y, z точки Q считаются однородными координатами точки P в плоскости p. В частности, координаты (X, Y, 1) самой точки P являются ее однородными координатами. Но вместе с тем ее же однородными координатами явятся любые числа (tX, tY, t), где t 6= 0, так как координаты всех точек прямой OP (кроме O) имеют как раз такой вид. (Мы исключаем точку (0, 0, 0), потому что она лежит на всех прямых, проходящих через O, и не может служить для их различения.)