Х. Приложение
При решении планиметрических задач полезно знать зависимости, рассмотренные в приведённой ниже задаче [3, с.15].
Задача о четырёх отношениях.
В треугольнике АВС (рис. 264) проведены отрезки АА1 и СС1, пересекающиеся в точке О. Точки А1, С1 и О определяют четыре отношения:
1) АС1 : С1В; 2) ВА1 : А1С 3) АО : ОА1; 4) СО : ОС1. Если известны любые два из указанных отношений, то могут быть вычислены два других.
Введём обозначения:
Пусть
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4).
Решение задачи сводится к рассмотрению шести случаев, приведённых в таблице
-
№ п/п
Номера заданных отношений
Номера
вычисляемых
отношений
1
1, 2
3, 4
2
1, 3
2, 4
3
1, 4
2, 3
4
2, 3
1, 4
5
2, 4
1, 3
6
3, 4
1, 2
Рассмотрим первый случай.
Дано:
,
.
Найти: .
Дополнительное построение.
Проведём А1К || СС1
Решение
1)
(использовано свойство пропорциональных отрезков на сторонах угла).
2)
(использовано подобие треугольников)
3) Из (1) и (2)
.
1.2. Дано: , . Найти: .
Результат получится, если переобозначить
вершины А и С, то есть
.
Аналогично могут быть получены два искомых отношения по двум известным отношениям и в остальных случаях. Причём можно заметить, что задачи 2 и 3, 4 и 5 по существу одинаковы.
В таблице приведены выражения для вычисления искомых отношений.
№п/п |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
Рассмотрим примеры задач, при решении которых используются полученные результаты.
№
1. Точка D принадлежит
стороне АС треугольника АВС и делит эту
сторону в отношении AD:DC=3:2.
На отрезке BD выбрана
точка Е так, что BE:ED=4:1.
В каком отношении прямая АЕ делит
площадь треугольника АВС?
Решение
Пусть
По условию задачи известны отношения
.
Необходимо вычислить отношение
.
Пользуясь четвёртой
строкой таблицы, получим
=
.
Прямая АЕ делит треугольник АВС на два треугольника ABF и AFC
с равными высотами, проведёнными из
вершины А. Следовательно, их площади
относятся как BF к FC.
Искомое отношение площадей равно
В решении приведённых ниже задач также используются табличные отношения.
№ 2. На медиане BD треугольника АВС, площадь которого равна S, выбрана точка Е так, что DE = BD. Прямая АЕ делит пересекает сторону ВС в точке F. Найти площадь треугольника AFC.
Ответ:
№3. В треугольнике АВС точка Е – середина биссектрисы СС1. В каком отношении прямая АЕ делит площадь треугольника АВС, если известно, что
СА : СВ = p : q?
Ответ:
№4. В правильном треугольнике АВС со стороной а проведена средняя линия MN параллельно АС. Через точку А и середину MN проведена прямая до пересечения с ВС в точке D. Найти длину AD.
Ответ:
№5. Вершины В и С при основании равнобедренного треугольника АВС соеднены прямыми с серединой О его высоты., проведённой из вершины А. Эти прямые пересекают боковые стороны АС и АВ в точках D и Е соответственно. Найти площадь четырёхугольника АEOD, если площадь треугольник АВС равна S.
Ответ:
