12. Поляризация диэлектриков

В отсутствие внешнего электрического поля дипольные моменты молекул диэлектрика или равны нулю (неполярные молекулы), или распределены по направлениям в пространстве хаотическим образом (полярные молекулы). В обоих случаях суммарный электрический момент диэлектрика равен нулю.

Под действием внешнего поля диэлектрик поляризуется. То есть, результирующий электрический момент диэлектрика становится отличным от нуля.

Величина Р, определяемая вектором поляризации диэлектрика. Дипольный момент p_i имеет размерность Клм.

У диэлектриков любого типа вектор поляризации связан с напряженностью поля в той же точке простым соотношением

P=(e0)E(стремная собака)

где стремная собака – не зависящая от Е величина, называемая диэлектрической восприимчивостью диэлектрика. (В анизотропных диэлектриках направления Р и Е, вообще говоря, не совпадают.

Связь поляризации и связанных зарядов.

Рассмотрим в однородном изотропном диэлектрике с неполярными молекулами воображаемую площадку S

Пусть в единице объема диэлектрика имеется n одинаковых частиц с зарядом +е и n одинаковых частиц с зарядом – е. Если поле в пределах диэлектрика однородно, то при включении поля все положительные заряды сместятся в направлении каком то там

Перенос отрицательного заряда в одном направлении эквивалентен переносу такого же по величине положительного заряда в противоположном направлении. Поэтому можно считать, что при включении поля через площадку S переносится в направлении вектора Р положительный заряд

Q=enSl1+enSl2=en(l1+l2)S

заряд, проходящий при включении поля через площадку S в направлении вектора Р, равен Q=PS

(15.4)

14. Поляризация и плотность связанных зарядов.

Рассмотрим внутри диэлектрика две воображаемые площадки S₁ и S₂, причем S₁= S₂=S. Площадки предполагаем перпендикулярными к Е и отстоящими друг от друга на x (рис. 31). До включения поля суммарный заряд, заключенный в цилиндрическом объеме с основанием S и высотой x, равен нулю.

При включении поля через площадку S₁ входит внутрь цилиндра положительный заряд q₁ = P₁S (см. (15.4)), P₁ – модуль вектора Р в сечении S₁.

Одновременно через S₂ выходит из цилиндра положительный заряд q₂ == P₂S (Р₂ – модуль вектора Р в сечении S₂). В результате в рассматриваемом объеме оказывается избыточный связанный положительный заряд

(15.5)

Если диэлектрик поляризован однородно (Р ≠ f(x,y,z)), то P₁ = Р₂ и избыточный связанный заряд равен нулю. Однако, если диэлектрик поляризуется неоднородно, P₁ ≠ Р₂. Причинами неоднородной поляризации могут быть как неоднородности диэлектрика, так и неоднородности поля Е, связанные с присутствием свободных зарядов в месте неоднородности.

Пусть степень поляризации диэлектрика изменяется только в направлении оси х, совпадающей с направлением Е (рис. 31). Тогда P₁ – Р₂ представляет собой приращение Р, которое получает модуль вектора Р при смещении вдоль оси х на х. Поскольку Р  0, в объеме величиной Sx возникает избыточный заряд

Разделив этот заряд на объем цилиндра Sx, получим объемную плотность связанных зарядов в сечении с координатой х (x полагаем малым):

Устремив x к нулю, получим

(15.6)

В общем случае, когда Р не совпадает по направлению с осью х и зависит не только от х, но и от координат y и z, для ' получается формула

(15.7)

В случае Р_х = Р, Р_y = Р_z =0 (15.6) есть частный случай (15.7).

Полученное соотношение оказывается справедливым и для диэлектриков с полярными молекулами.

Из выражения (15.5) для избыточного связанного заряда, заключенного в рассматриваемом объеме, вытекает еще одно важное соотношение. Найдем поток вектора Р через поверхность цилиндра, изображенного на рис. 31. Поток через боковую поверхность равен нулю, так как вектор Р касателен к этой поверхности. Нормальная составляющая Р для площадки S₂ равна модулю вектора Р в сечении 2, т. е. Р₂. Поэтому для потока через S₂ получается значение P₂S (S₁ = S₂ = S). Нормальная составляющая Р для площадки S₁ равна –P₁ (направления внешней нормали к S₁ и вектора Р противоположны), так что соответствующий поток равен – P₁S. Тогда, полный поток вектора Р через поверхность цилиндра равен

Сопоставив полученное нами выражение с правой частью формулы (15.5), приходим к соотношению между избыточным связанным зарядом, заключенным внутри цилиндра, и потоком вектора Р через поверхность цилиндра:

(15.8)

Избыточный заряд, заключенный в некотором объеме, равен алгебраической сумме находящихся в этом объеме связанных зарядов: .

Поэтому (15.8) можно записать в виде

(15.9)

Можно доказать, что (15.9) справедлива для поверхности любой формы, при произвольной зависимости вектора Р от координат х, у, z, а также для полярных и неполярных диэлектриков.

Теперь выясним, что происходит на поверхности поляризованного диэлектрика. Пусть для начала внешняя плоская грань диэлектрика перпендикулярна к вектору Р (рис. 32,а). При включении поля все отрицательные заряды сместятся относительно положительных зарядов влево (против Р) на одинаковую величину l = l₁+ l₂ (рис. 30). В результате в поверхностном слое толщины l останутся только положительные заряды, дающие в сумме q’_изб = enSl (на противоположной грани образуется такой же по величине отрицательный заряд). Разделив q’_изб на S, получим поверхностную плотность связанного заряда: ’ = enl. Но eln есть модуль вектора поляризации Р, поэтому

(15.10)

Перейдем к случаю, когда нормаль n к внешней плоской грани диэлектрика образует с вектором Р произвольный угол  (рис. 32,6). В этом случае объем косого цилиндра, равный

Рис. 32.

Slcos свободен от отрицательных зарядов. Содержащийся в нем избыточный заряд равен . Разделив этот заряд на S и учтя, что , получим

(15.11)

где P_n – проекция вектора Р на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика. При  = 0 проекция P_n равна Р, и мы приходим к формуле (15.10).

Формула (15.11) дает не только величину, но и знак поверхностного связанного заряда. В тех точках поверхности, где угол между внешней нормалью n и вектором Р острый, P_n > 0 и ’ положительна.. В тех точках, где n и Р образуют тупой угол, P_n < 0 и  ' отрицательна. Выразив согласно (15.2) Р через æ и Е, приходим к формуле

(15.12)

где E_n – нормальная составляющая напряженности поля внутри диэлектрика. В соответствии с (15.12) в тех местах, где линии напряженности выходят из диэлектрика (E_n > 0), на поверхности выступают положительные связанные заряды, там же, где линии напряженности входят в диэлектрик (E_n <0), появляются отрицательные поверхностные заряды.

Формулы (15.11) и (15.12) справедливы и в самом общем случае, когда неоднородный диэлектрик произвольной формы находится в неоднородном электрическом поле. Под P_n и E_n в этом случае нужно понимать нормальную составляющую соответствующего вектора, взятую в непосредственной близости к тому элементу поверхности, для которого определяется ’.