- •Вопрос 3
- •Вопрос 4.
- •Вопрос 5. Обратная матрица: определение, теорема о существовании.
- •Вопрос 6.
- •Вопрос 7.
- •Вопрос 11.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2 .
- •Вопрос 4.
- •Вопрос 5.
- •Как найти направляющие косинусы вектора
- •Вопрос 6.
- •Вопрос 7.
- •8.2. Свойства смешанного произведения
- •8.3. Выражение смешанного произведения через координаты
- •Вопрос 1
- •Вопрос 2.
- •Вопрос 3.
- •Вопрос 4.
- •Вопрос 5.
- •Вопрос 6.
- •Вопрос 7.
- •Вопрос 8.
- •Вопрос 9.
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 16.
- •Вопрос 17
- •Вопрос 18.
Вопрос 5. Обратная матрица: определение, теорема о существовании.
Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к ней называется матрица, которая будучи умноженной на А как справа, так и слева дает единичную матрицу. А-1 *А=А* А-1 =Е
Только квадратная матрица имеет обратную матрицу. Если обратная матрица А-1 существует, то матрица А называется обратимой.
Операция вычисления обратной матрицы называется обращением матрицы.
Теорема: Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы матрица была вырожденной, т.е модуль А не равен нулю. Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1)Находят определитель матрицы А
2)Находят алгебраические дополнения всех элементов матрицы А и записывают новую матрицу.
3)Транспонируют полученную матрицу.
4)Умножают полученную матрицу на 1/модуль А
Пример: Дана матрица . Найти обратную матрицу. Р е ш е н и е: Вычисляем определитель матрицы A:
Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:
, , , ,
, ,
Следовательно,
Вопрос 6.
Нахождение обратной матрицы методом Жордана-Гаусса.
Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения неизвестных) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы.
Алгоритм:
Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.
Если самое верхнее число в этом столбце есть ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.
Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.
Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
После повторения этой процедуры раз получают верхнюю треугольную матрицу
Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).
Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.
Пример:
Для решения следующей системы уравнений:
Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:
Проведём следующие действия:
К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.
К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.
Получим:
К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.
Строку 2 делим на −2
К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.
К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.
К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.
В правом столбце получаем решение:
.