- •Вопрос 3
- •Вопрос 4.
- •Вопрос 5. Обратная матрица: определение, теорема о существовании.
- •Вопрос 6.
- •Вопрос 7.
- •Вопрос 11.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2 .
- •Вопрос 4.
- •Вопрос 5.
- •Как найти направляющие косинусы вектора
- •Вопрос 6.
- •Вопрос 7.
- •8.2. Свойства смешанного произведения
- •8.3. Выражение смешанного произведения через координаты
- •Вопрос 1
- •Вопрос 2.
- •Вопрос 3.
- •Вопрос 4.
- •Вопрос 5.
- •Вопрос 6.
- •Вопрос 7.
- •Вопрос 8.
- •Вопрос 9.
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 16.
- •Вопрос 17
- •Вопрос 18.
Вопрос 6.
Общее уравнение плоскости и уравнение первого порядка в пространстве. Примеры.
Вопрос 7.
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ
Рассмотрим в пространстве произвольную плоскостьσ. Её положение определяется заданием вектора , перпендикулярного этой плоскости, и некоторой фиксированной точкиM0(x0, y0, z0), лежащей в плоскости σ.
В ектор перпендикулярный плоскости σ, называется нормальным вектором этой плоскости. Пусть вектор имеет координаты .
Выведем уравнение плоскости σ, проходящей через данную точку M0 и имеющей нормальный вектор . Для этого возьмём на плоскости σ произвольную точку M(x, y, z) и рассмотрим вектор .
Для любой точки M σ вектор .Поэтому их скалярное произведение равно нулю . Это равенство – условие того, что точка Mσ. Оно справедливо для всех точек этой плоскости и нарушается, как только точка M окажется вне плоскости σ.
Если обозначить через радиус-вектор точки M, – радиус-вектор точкиM0, то и уравнение можно записать в виде
.
Это уравнение называется векторным уравнением плоскости. Запишем его в координатной форме. Так как , то
.
Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Таким образом, для того чтобы составить уравнение плоскости, нужно знать координаты нормального вектора и координаты некоторой точки, лежащей на плоскости.
Заметим, что уравнение плоскости является уравнением 1-ой степени относительно текущих координат x, y и z.
Примеры.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-2;3) перпендикулярно вектору .
Используя выведенное уравнение, получим 2(x-1)+0(y+2)+4(z-3)=0 или x+2z-7=0.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;2;3), B(-1;0;0), C(3;0;1).
Чтобы составить требуемое уравнение, нужно найти вектор перпендикулярный плоскости. Заметим, что таким вектором будет вектор . Найдем это вектор. . Тогда
.
Взяв в качестве точки, через которую проходит плоскость точку A, получим уравнение –2(x-1)-10(y-2)+8(z-3)=0 или x+5y-4z+1=0.
Вопрос 8.
Расстояние от точки до точки на плоскости, формула.
Получим формулу для вычисления расстояния между точками и , заданными в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.
Проведем через точки А и В прямые, перпендикулярные координатным осям Ох и Оу. Обозначим проекции точки А на оси Ох и Оу как и соответственно, а проекции точки В как и .
В зависимости от расположения точек А и В возможны следующие варианты.
Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю.
Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс, то точки и совпадают, а расстояние равно расстоянию . В предыдущем пункте мы выяснили, что расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат, поэтому, . Следовательно, .
Аналогично, если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат, то расстояние от точки А до точки В находится как .
Сейчас будем считать, что точки А и В не совпадают и не лежат на прямой, перпендикулярной координатной оси. Найдем расстояние между ними.
В этом случае треугольник АВС – прямоугольный по построению, причем и . По теореме Пифагора мы можем записать равенство , откуда .
Обобщим все полученные результаты: расстояние от точки до точки на плоскости находится через координаты точек по формуле .
Полученную формулу для нахождения расстояния между точками, можно использовать когда точки А и В совпадают или лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Действительно, если А и В совпадают, то . Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ох, то . Если А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Оу, то .