Нахождение оригиналов функций по их изображениям
Если изображение функции является дробно-рациональной функцией вида
,
то
вычисление оригиналов можно осуществить несколькими способами:
1 способ - табличный
При невысоком порядке системы удобно использовать для вычисления оригиналов и изображений стандартную таблицу типовых функций и их изображений.
-
Вещественные корни
Комплексно-сопряжённые корни
ОРИГИНАЛ
ИЗОБРАЖЕНИЕ
ОРИГИНАЛ
ИЗОБРАЖЕНИЕ
2 способ – комбинированный
Разложение на простые дроби методом неопределённых коэффициентов:
Если
правильная рациональная дробь, то
можно
представить в виде произведения линейных
и квадратичных сомножителей с
действительными коэффициентами. Корни:
нулевые (
)
-
;
нулевые кратные
;
действительные (
)
-
;
действительные кратные
;чисто мнимые (
)
-
;
комплексно-сопряжённые (
)
-
;
,
где
и
полиномы, соответствующие кратности
знаменателя.
Дробь приводят к общему знаменателю и приравнивают многочлены числителя правой и левой части, определяют коэффициенты и по таблице оригиналов и изображений получают окончательный результат.
3 способ - аналитический
Вычисление оригиналов проводится по следующим формулам:
1. Корни простые, вещественные:
. (1)
2
Корни простые, вещественные и один
корень нулевой, т.е.
.
. (2)
3.
Корни комплексно-сопряженные:
(считается для одного корня) 
,
если
(3)
4. Корни комплексно-сопряженные и один нулевой:
; (4)
5. Корни кратные:
(5)
Временные характеристики
Временные характеристики вводят с целью изучения поведения САУ во временной области, когда о свойствах элемента (системы) можно судить на любом этапе управления по его реакции на поступающие воздействия. Реакцию системы можно найти, решив дифференциальное уравнение. Для реальных систем сделать это трудно, т.к. порядок ДУ может быть высоким и воздействие может иметь сложный вид.
Задача исследования САУ значительно упрощается, если входное воздействие будет представлять собой простейшую аналитическую функцию. В качестве воздействий такого типа принимают:
единичный мгновенный импульс
единичную ступенчатую функцию
Единичное
ступенчатое воздействие
– это воздействие, которое мгновенно
возрастает от нуля до единицы и далее
остаётся постоянным.
- это мгновенное изменение нагрузки на валу электрического двигателя, мгновенный поворот входного валика следящей системы.
Реакцию
системы на единичное ступенчатое
воздействие при нулевых начальных
условиях называют переходной
функцией,
а её графическое изображение переходной
характеристикой и обозначают
.
Единичный
мгновенный импульс
–
это математическая идеализация предельно
короткого импульсного сигнала с
бесконечно большой высотой (
)
и бесконечно малой шириной (0), но площадь
которого равна 1.
Функция
связана с 1(t)
следующими соотношениями
или 
– кратковременный удар нагрузки на валу двигателя, кратковременный ток короткого замыкания, отключаемый плавкий предохранитель.
Реакцию
системы на единичный мгновенный импульс
при нулевых начальных условиях называют
импульсной
переходной (весовой) функцией,
а её графическое изображение импульсной
(весовой) характеристикой и обозначают
.
Импульсная переходная функция (ИПФ) должна удовлетворять двум условиям:
,
т.е. переходный процесс не может
возникнуть раньше причины его вызвавшей
(условие физической реализуемости);
,
т.е. переходный процесс должен быть
ограниченным (характеризует устойчивость
системы).
Между
и
существует определённая зависимость
или 
.