- •§24. Типовые звенья второго порядка
- •§25. Особые звенья
- •§26.Основные свойства, классификация и математические модели объектов регулирования
- •§27. Правило построения лах разомкнутой системы
- •§28. Графоаналитическое построение чх замкнутой системы по чх разомкнутой системы
- •§29. Уравнения и передаточные функции многомерных объектов и систем управления в координатах вход - выход.
- •§30. Математические модели одномерных и многомерных объектов и систем в пространстве состояний
§29. Уравнения и передаточные функции многомерных объектов и систем управления в координатах вход - выход.
Р
- матрица - столбец(вектор) задающих (управляющих) воздействий размерностью (m x 1),
- вектор возмущающих воздействий,
- вектор управляемых величин,
где T - символ транспонирования.
Для этого объекта (системы) математическое описание в координатах вход – выход можно составить в двух формах:
- в виде системы дифференциальных уравнений;
- в виде одного векторно-матричного уравнения.
Систему дифференциальных уравнений целесообразно записать в операторной форме:
, i=1...m. (1)
Коэффициенты в (1) являются операторами, т.е. зависят от .
Соответствующее векторно-матричное уравнение:
, (2)
где матрица ,
Из (1) или (2) можно найти второй вид описания, а именно передаточные функции. По уравнению (1) п.ф находятся по методу суперпозиции, т.е. при нахождении п.ф. по одному входу все остальные полагают равными 0.
П.ф. по задающему воздействию , , .
П.ф. по возмущению , , .
Если воспользоваться уравнением (2) , то для нахождения п.ф. необходимо левую и правую часть уравнения умножить слева на обратную матрицу :
. (3)
Сопоставим (3) с уравнением, содержащим матрицы п.ф.:
Cравнение показывает, что
, ,
где обратная матрица ,
det A(p) – определитель матрицы A(p),
-алгебраическое дополнение к элементу матрицы А(р) находится известным образом, т.е. вычеркиванием из матрицы i строки и j столбца, вычислением получившегося определителя и умножением его на .
Матрица весовых функций получается применением обратного преобразования Лапласа к соответствующим матрицам п.ф., т.е.
; .
Матрицы ЧПФ получаются при подстановке в соответствующие матрицы п.ф.
§30. Математические модели одномерных и многомерных объектов и систем в пространстве состояний
Пространством состояний называется n-мерное (n- порядок уравнения ) пространство, по осям координат которого отложены переменные состояния .
Переменные состояния - это обобщенные координаты, которые позволяют в любой момент времени определить состояние объекта. Они образуют вектор состояния .
Применение переменных состояния является одной из основных тенденций расчета и проектирования. Переменные состояния обладают следующими особенностями:
это линейно-независимые переменные;
выбор переменных состояния произволен и неоднозначен;
переменные состояния не всегда имеют физический смысл.
Относительно переменных состояния система (объект) описывается уравнениями в нормальной форме Коши . Как известно, это уравнения первого порядка, разрешенные относительно первых производных по времени:
,
где - вещественные коэффициенты (постоянные, если система стационарна), gj, vj – задающие и возмущающие воздействия соответственно. Вместо этой системы из n уравнений можно использовать векторно-матричное уравнение состояний:
, (1)
где ,
Кроме этого уравнения для математического описания необходимо использовать уравнение выхода, связывающее вектор выходных величин с переменными состояния и входными воздействиями:
, (2)
где , , , .
Именно эта возможность выразить алгебраически выходные величины через переменные состояния и входные величины и означает, что переменные состояния в любой момент времени определяют состояние системы. Из уравнений (1) и (2) можно найти другие известные формы математического описания. Для нахождения матриц передаточных функций в уравнениях (1) и (2) при ННУ перейдем к изображениям по Лапласу и кроме того в уравнении (1) умножим левую часть на единичную матрицу I для возможности приведения подобных:
, (3)
где .
При вынесении за скобки справа в скобках остается характеристическая матрица sI-A .
Умножим левую и правую часть слева на матрицу, обратную характеристической матрице левой части:
. (4)
Подставив (4)в преобразованное по Лапласу (2)
, (5)
получим матрицы передаточных функций по задающему Wg(s) и возмущающему Wv(s) воздействям. Как известно, обратная матрица в знаменателе содержит определитель det характеристической матрицы, который является характеристическим полиномом системы и будучи приравнен к нулю дает характеристическое уравнение системы.
Пример 1
u
x2
x1=y
Запишем систему уравнений в нормальной форме Коши:
где ; ; ; ;
Характеристическое уравнение s2=0 имеет 2 нулевых корня.
В соответствии с (5) определим передаточную функцию
что очевидно для данного последовательного соединения .
Пример 2
Перейти от уравнения в координатах вход-выход
к
Принимаем в качестве переменных состояния выходную величину и ее производные по времени до (n-1) порядка включительно, что дает систему из n-1 уравнений состояний и уравнения выхода. Предпоследнее уравнение следует из заданного.