- •§24. Типовые звенья второго порядка
- •§25. Особые звенья
- •§26.Основные свойства, классификация и математические модели объектов регулирования
- •§27. Правило построения лах разомкнутой системы
- •§28. Графоаналитическое построение чх замкнутой системы по чх разомкнутой системы
- •§29. Уравнения и передаточные функции многомерных объектов и систем управления в координатах вход - выход.
- •§30. Математические модели одномерных и многомерных объектов и систем в пространстве состояний
§25. Особые звенья
Эти звенья в отличие от типовых являются неминимально - фазовыми, т.е. при одной и той же АЧХ с соответствующим ему типовым звеном особое звено имеет ФЧХ с бóльшими по модулю ординатами. Математически это объясняется тем, что передаточные функции особых звеньев имеют нули и (или) полюсы, расположенные в правой комплексной полуплоскости. Особые звенья делятся на два вида:
1) с сосредоточенными в пространстве параметрами ;
2) с распределенными в пространстве параметрами .
Из особых звеньев с сосредоточенными параметрами в практике наиболее часто встречаются два:
1) Устойчивое неминимально-фазовое звено первого порядка.
2) Неустойчивое звено первого порядка.
Устойчивое неминимально-фазовое звено
Оно описывается дифференциальным уравнением первого порядка
,
которое отличается от уравнения инерционно-форсирующего звена разными знаками слагаемых правой части.
Передаточная функция имеет нуль , расположенный в правой полуплоскости.
Переходную функцию можно получить из функции инерционно-форсирующего звена изменением знака перед Т2:
.
Этой функции соответствует переходная характеристика в виде переходящей через ноль экспоненты.
Частотная передаточная функция :
показывает, что ее мнимая часть всегда отрицательна, и поэтому АФХ представляет собой полуокружность в нижней полуплоскости. ЛАХ у данного звена совпадает с ЛАХ инерционно- форсирующего звена первого порядка, так как изменение знака перед T2 не сказывается на модуле передаточной функции. ФЧХ определим из ЧПФ по правилу аргументов:
.
Эта формула показывает, что ФЧХ совпадает с ФЧХ апериодического звена второго порядка. Следовательно, данное звено является неминимально - фазовым по сравнению с инерционно - форсирующим звеном первого порядка.
Примером рассмотренного особого звена могут служить симметричные мостовые схемы с реактивными элементами.
R1>R2
Неустойчивое звено первого порядка
Его уравнение , п.ф .
Это уравнение отличается от уравнения инерционного звена первого порядка разными знаками слагаемых в левой части. Это звено называют так же квазиинерционным звеном первого порядка. Переходную функцию определим операторным методом: .
Применим формулу известной теоремы разложения. Если , то
, где , Q(s)=k
si -некратные корни уравнения D(s)=0. В данном случае -полюс передаточной функции,
Подставляя в формулу разложения, найдем .
Весовая характеристика иллюстрирует свойства неустойчивости данного звена: после снятия приложенного воздействия в виде - функции выходная величина неограниченно удаляется от нулевого значения. Переходная характеристика имеет значения противоположного знака по сравнению с вынужденным (-k), которое из-за неустойчивости установившимся не является.
Частотная п.ф.
показывает, что АФХ расположена в третьем квадранте.
АЧХ совпадает с АЧХ инерционного звена первого порядка, а ФЧХ можно найти по правилу аргументов с учетом квадранта фазового угла. По модулю эта ФЧХ больше, чем у инерционного звена:
Примером может служить интегратор, охваченный положительной жесткой обратной связью, что видно из эквивалентной передаточной функции.
Особые звенья с распределенными параметрами
Эти звенья описываются дифференциальными уравнениями в частных производных:
- уравнение длинной линии;
- уравнение теплопроводности;
r - пространственная координата, изменяющаяся от 0 до ∞,
z - физическая переменная, характеризующая состояние звена.
В качестве выходной величины звена принимают y(t)=z( ,t), где - некоторое значение r.
В качестве входной могут выбираться разные величины:
Для нахождения комплексной амплитуды подставим комплекс в уравнение длинной линии. После дифференцирования получим
.
Запишем соответствующее характеристическое уравнение, рассматривая r как независимую переменную:
.
Корни этого уравнения позволяют выразить комплексную амплитуду как функцию r следующей формулой:
.
Для звена направленного действия учитывается только прямая волна от входа к выходу и тогда
.
Соответствующая истинная функция времени и r определится обычным образом, т.е. как коэффициент при j:
и отсюда при r=0 и
,
,
где имеющее размерность времени произведение обозначается и называется временем запаздывания.
Определим частотную передаточную функцию как отношение комплексов выхода и входа
.
Заменив на s получим передаточную функцию в изображениях Лапласа
.
Эта передаточная функция трансцедентная.
Сравнение функций y(t) и x(t) позволяет записать уравнение данного звена в более простом виде:
.
Если в этом уравнении с запаздывающим аргументом правую и левую часть подвергнуть преобразованию Лапласа, получим такую же W(s). Согласно последнему уравнению, выходная величина звена в точности повторяет входную, но с постоянным запаздыванием . Поэтому звено называется звеном постоянного запаздывания и его переходная характеристика будет представлять собой единичную ступенчатую функцию, смещенную на :
, а .
Т.к. , то
АЧХ у данного звена такая же, как у безинерционного, а ФЧХ .
Следовательно, звено с постоянным запаздыванием является неминимально-фазовым по отношению к безинерционному звену.
Его АФХ представляет собой окружность единичного радиуса с центром в начале координат, которая с изменением обходится периодически.
Примерами данного звена могут служить:
1
2) Транспортер сыпучих материалов.
x(t)-нагр.на
1м на входе
y(t)-нагр.
на 1м на выходе
из бункера
V-скорость движения
транспортной ленты.
v
l
Особые звенья, описываемые уравнением теплопроводности, имеют в качестве
переменной температуру, т.е. в некоторой точке объекта. Основные разновидности этих звеньев сведем в таблицу.
№ |
Название и п.ф |
Вход |
Выход |
Пример |
1 |
Звено полузапаздывания
|
|
|
Нагреваемый радиационным способом объект бесконечной толщины без учета теплоотвода с поверхности |
2 |
Полуинтегрирущее
|
Удельная мощность излучения
|
|
То же |
3 |
Полуинерционное 1-го рода
|
То же |
То же |
То же с учетом теплоотвода с поверхности |
4 |
Полуинерционное 2-го рода
|
То же |
То же |
Объект радиационного или индукционного нагрева с осевой симметрией и с учетом теплоотвода. |
Передаточные функция этих звеньев иррациональны(комплексная переменная s под корнем). Кроме того передаточная функция звена полузапаздывания еще и трансцедентна, что усложняет исследование систем с такими объектами. В этих случаях замена s на не имеет смысла.