- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
Среди других явных одношаговых методов наибольшее распространение получил метод Рунге-Кутта. На его основе можно построить множество схем различного порядка точности.
Имеем задачу Коши для ОДУ первого порядка
(1)
(2)
Семейство явных одношаговых методов Рунге-Кутта для вычисления сеточного решения по уже известному значению этой функции в i-том узле, т.е. может быть выражено следующим образом.
------ (3). Или --------- (4),
где
(5)
………………………………………………………….
Коэффициенты
представляют собой константы, значение которых выбирается из соображений точности, устойчивости и экономичности алгоритма. Как правило, методы Рунге-Кутта при m5 не используются. Выражения (4)-(5) описывают явный m-этапный одношаговый метод Рунге-Кутта. Используя одну из схем этого метода можно последовательно найти численное значение сеточной функции во всех узлах сетки от i=0 до n.
При m=1 получаем схему Эйлера. ,
При m=2 получим семейство методов
(6)
При m=2 можно построить множество схем Рунге-Кутта, однако нельзя достигнуть третьего порядка точности.
12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
m=3. Приведем примеры методов Рунге-Кутта третьего порядка точности.
а)
(21)
б)
(22)
m=4. Приведем примеры методов Рунге-Кутта четвертого порядка точности
а)
(23)
б)
(24)
Приведенные формулы являются частным случаем методов Рунге-Кутта третьего и четвертого порядков. Метод четвертого порядка точности (23) является одним из самых распространенных методов решения задач Коши ОДУ. Этот метод как правило используется в математических пакетах (Maple, MathCad) для решения ОДУ. Формулы более высокого порядка (m>5) не используются из-за громоздкости выражений, которая возрастает значительно быстрее, чем точность формулы.
Оценки погрешностей различных схем Рунге-Кутта связаны с вычислением максимумов модулей соответствующих производных функции f(x,u(x)) и представляют собой достаточно сложные формулы. В связи с этим при решении конкретной задачи всегда возникает вопрос о целесообразности применения конкретной схемы Рунге-Кутта и выборе шага сетки. Если функция f(x,u(x)) является непрерывной и ограниченной вместе со своими четырьмя производными, то хорошие результаты даст применение схемы четвертого порядка (23). Если функция f(x,u(x)) не имеет указанных производных, то целесообразно использовать схему, порядок точности которой будет равен порядку имеющихся производных.
Шаг сетки следует выбирать настолько малым, чтобы обеспечить требуемую точность. Других условий, ограничивающих шаг сетки, метод Рунге-Кутта не имеет. На практике используют также апостериорную (после проведенных расчетов) оценку точности, проведя серию расчетов со сгущающейся сеткой. Шаг сетки можно также менять при переходе от одной точки к другой. Для контроля правильности выбора шага сетки при использовании схем Рунге-Кутта (23) на практике вычисляют дробь (25)
Величина этой дроби не должна превышать нескольких сотых. В противном случае шаг следует уменьшить.
Для контроля вычислений можно применять двойной пересчет, т.е. решения находят для шага h и 0.5h. В соответствующих точках этих сеток решения должны совпадать в пределах заданной точности.