- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
Сущность метода конечных разностей состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Сеткой называется любое конечное множество точек области (отрезка). Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией. Сетку принято обозначать , hi=xi+1-xi- шаг сетки, i=0,1,2,…,n-1}, где i=0,1,2,…,n – узлы сетки., f(xi) – сеточная функция. Сетка называется равномерной сеткой, если шаг сетки h=const будет величиной постоянной. Во всех остальных случаях сетка называется неравномерной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используют соответствующие конечно-разностные соотношения. Такая замена дифференциального уравнения разностным называется аппроксимацией на сетке или разностной аппроксимацией. Т.о. решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки. при этом возникают вопросы обоснованности замены дифференциальных уравнений сеточными, уровня качества такой аппроксимации, точности получаемых численных решений, устойчивости применяемого метода и т.д., т.е. вопросы теоретического обоснования численных методов.
В теории разностных схем для компактности записи дифференциального уравнения, начальных и граничных условий используют некоторый символический вид записи, называемый операторным. Например задачу (1) можно записать
Lu=0 или L1u=f(x), где L или L1 дифференциальный оператор, содержащий операции дифференцирования. Значение этого оператора будет различным для разных дифференциальных уравнений. Дополнительные условия также можно представлять в операторном виде.
25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
Двухточечная граничная задача для уравнения (1) ставится следующим образом. Найти функцию u(x), которая на отрезке [a,b] удовлетворяет уравнению (1), а на его концах следующим граничным условиям
(2)
(3)
Функции имеют общее количество условий, совпадающее с порядком исходного дифференциального уравнения.
Если уравнения (1)-(3) являются линейными относительно искомой функции u=u(x) и ее производных, то граничная задача (1)-(3) называется линейной.
Для решения двухточечной краевой задачи на основе ДУвторого порядка в пакете MathCad имеются функции Odesolve(x,b) и sbval(v,a,b,D,load,score). Параметры функции Odesolve: x-независимая переменная, b- правая граница интервала, на котором ищем решение. Для применения этой функции необходимо оформлять вычислительный блок с помощью Given. В этом блоке записывается граничная задача и функция Odesolve, при этом для записи производной второго порядка в самом уравнении нельзя использовать значок , в граничных условиях недопустимо задавать комбинацию значений искомой функции и ее производной.
Пример использования функции Odesolve
Функцию Odesolve можно применять для решения задачи Коши. Например
Функция sbval находит недостающие начальные условия в левой точке интервала [a,b]. После того как будут получены эти недостающие начальные условия, можно решать обычную задачу Коши любым известным методом. Начальные условия, которые возвращает функция sbval, будут согласованы с теми значениями, которые заданы в конечной точке интервала.