- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
Решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода
(1)
будем искать в виде ряда (2)
где - система функций, подлежащая определению. Для их определения подставим (2) в (1). Будем иметь
В этом соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях . Получим
=> => =>…=> (3)
Система соотношений (3) является системой рекуррентного определения . Приближенное значение решения ищется в виде (4)
Рассмотрим вопрос о сходимости этого процесса: будет ли при , или, что то же самое, будет ли при . Введем функцию . Тогда
Рассмотрим вопрос о поведении при условии, что , . Из (3) будем иметь
……………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………......
Тогда
если
49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
Будем рассматривать интегральное уравнение Вольтерра второго рода в виде
(1)
Пусть и на взята сетка равноотстоящих точек , i= 0,1,..., N. Положим в (1) х = хi и рассмотрим систему равенств:
i=1,2,…,N (2)
Пусть для вычисления интегрального слагаемого в (2) возьмем квадратурную формулу с узлами в точках , т.е
здесь - остаток квадратурной формулы. Подставим вместо интегралов в (2) их вид через эту формулу. Получим
i=1,2,…,N (3)
Отбрасывая остатки , получаем уравнения для приближенных значений , которые мы обозначим через yi, следующего вида:
i=1,2,…,N (4)
Из последних соотношений при ограничениях на Aik таких, что , будем иметь
i=1,2,…,N (5)
Из этих соотношений рекуррентно получим приближенные значения решения уравнения (1) в узлах сетки. Более того, если для всех i выполняется неравенство | , то этот квадратурный процесс сходится.
Следует обратить внимание на необходимость составления начала расчетной таблицы при применении правила (5). Коэффициенты Aik обычно выбираются так, чтобы локальная переменная ri правила имела во всех узлах один и тот же порядок малости относительно h, т. е. чтобы погрешность ri при всех i имела представление вида ri =hnci. Предположим теперь, что нам необходимо вычислить у1. Для этого рассмотрим квадратурную формулу при i= 1:
. Она содержит два числовых параметра А10 и A11, которые мы можем выбрать так, чтобы формула имела более высокую степень точности. Так как свободных параметров только два, то мы можем сделать формулу точной для многочленов первой степени. Тогда формула станет известным правилом трапеций, для которого А10 = А11 =0.5:
Отсюда видно, что ri имеет относительно h третий порядок малости. Если окажется, что принятый в вычислениях порядок п малости больше трех, то эту формулу нельзя применить к нахождению у1. Тогда у1 должно быть найдено с необходимой точностью предварительно до применения вычислительного правила (8). Аналогично, чтобы воспользоваться формулой (8) для нахождения у2, будем иметь
Наивысшая алгебраическая степень точности, которую можно достичь при помощи выбора коэффициентов А20, А21, А22, равна 3, и достигается она в правиле Симпсона, для которого А20 = А22 = 1/3, А21 = 4/3:
Где . Остаток r2 имеет пятый порядок малости относительно h, и если окажется, что п > 5, то правило (5) нецелесообразно применять для вычисления у2, а это значение, так же как и у1, необходимо найти заранее по более точным правилам и т. д. Значение у1 входящее в начало таблицы, можно находить, например, решая интегральное уравнение в окрестности точки а при помощи степенного ряда, если функции К(х,s) и f(x) являются аналитическими функциями, или применить для вычисления этих значений формулу трапеций с измененным шагом.