Критическое напряжение

 

— отношение критической силы Рк, при к-рой нарушается устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня, к площади поперечного сечения стержня. Обозначается символом ак. Для сжатого стержня с шарнирно опертыми концами критическое напряжение определяется по формуле Эйлера. Величина критического напряжения зависит от условий заделки концов стержня: для стержня с обоими защемленными концами оно будет в 4 раза больше, а для стержня с одним защемленным и другим свободным концом — в 4 раза меньше, чем для стержня с шарнирно опертыми концами. По формуле Эйлера можно определять критическое напряжение, если оно не превышает предела пропорциональности материала, т. е. для относительно больших значений X. К. н. при нарушении прочности коротких сжатых стержней (А,<30—40) примерно равно пределу текучести на сжатие.

Казалось бы, что полученные в предыдущих параграфах результаты решают задачу проверки сжатого стержня на устойчивость; остается выбрать лишь коэффициент запаса . Однако это далеко не так. Ближайшее же изучение числовых величин, получаемых по формуле Эйлера, показывает, что она дает правильные результаты лишь в известных пределах.

   На рис.1 приведена зависимость величины критических напряжений, вычисленных при различных значениях гибкости для стали 3, обычно применяемой в металлических конструкциях. Эта зависимость представляется гиперболической кривой, так называемой «гиперболой Эйлеpa»:

   При пользовании этой кривой надо вспомнить, что представляемая ею формула получена при помощи интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси, т. е. в предположении, что напряжения в стержне в момент потери устойчивости не превосходят предела пропорциональности.

Рис.1. Гиперболическая зависимость критического напряжения от гибкости стержня

 

   Следовательно, мы не имеем права пользоваться величинами критических напряжений, вычисленных по формуле Эйлера, если они получаются выше этого предела для данного материала. Иначе говоря, формула Эйлера применима лишь при соблюдении условия:

или

Если из этого неравенства выразить гибкость , то условие применимости формул Эйлера получит иной вид:

   Подставляя соответствующие значения модуля упругости и предела пропорциональности для данного материала, находим наименьшее значение гибкости, при которой еще можно пользоваться формулой Эйлера. Для стали 3 предел пропорциональности может быть принят равным , поэтому, для стержней из этого материала можно пользоваться формулой Эйлера лишь при гибкости

т. е. большей, чем 100 %

   Для стали 5 при формула Эйлера применима при гибкости ; для чугуна — при , для сосны — при и т. д. Если мы на Рис.1 проведем горизонтальную линию с ординатой, равной , то она рассечет гиперболу Эйлера на две части; пользоваться можно лишь нижней частью графика, относящейся к сравнительно тонким и длинным стержням, потеря устойчивости которых происходит при напряжениях, лежащих не выше предела пропорциональности.

   Теоретическое решение, полученное Эйлером, оказалось применимым на практике лишь для очень ограниченной категории стержней, а именно, тонких и длинных, с большой гибкостью. Между тем, в конструкциях очень часто встречаются стержни с малой гибкостью. Попытки использовать формулу Эйлера для вычисления критических напряжений и проверки устойчивости при малых гибкостях вели иногда к весьма серьезным катастрофам, да и опыты над сжатием стержней показывают, что при критических напряжениях, больших предела пропорциональности, действительные критические силы значительно ниже определенных по формуле Эйлера.

   Таким образом, надо найти способ вычисления критических напряжений и для тех случаев, когда они превышают предел пропорциональности материалов, например, для стержней из мягкой стали при гибкостях от 0 до 100.

   Необходимо сразу же отметить, что в настоящее время важнейшим источником для установления критических напряжений за пределом пропорциональности, т. е. при малых и средних гибкостях, являются результаты экспериментов. Имеются попытки и теоретического решения этой задачи, но они скорее указывают путь к дальнейшим исследованиям, чем дают основания для практических расчетов.

   Прежде всего надо выделить стержни с малой гибкостью, от 0 примерно до 30—40; у них длина сравнительно невелика по отношению к размерам поперечного сечения. Например, для стержня круглого сечения гибкости 20 соответствует отношение длины к диаметру, равное 5. Для таких стержней трудно говорить о явлении потери устойчивости прямолинейной формы всего стержня в целом в том смысле, как это имеет место для тонких и длинных стержней.

   Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом за счет того, что напряжения сжатия в них будут достигать предела текучести (при пластичном материале) или предела прочности (при хрупких материалах). Поэтому для коротких стержней, до гибкости примерно 30 40, критические напряжения «будут равны, или немного ниже (за счет наблюдающегося все же некоторого искривления оси стержня), соответственно или (сталь), или (чугун, дерево).

   Таким образом, мы имеем два предельных случая работы сжатых стержней: короткие стержни, которые теряют грузоподъемность в основном за счет разрушения материала от сжатия, и длинные, для которых потеря грузоподъемности вызывается нарушением устойчивости прямолинейной формы стержня. Количественное изменение соотношения длины и поперечных размеров стержня меняет и весь характер явления разрушения. Общим остается лишь внезапность наступления критического состояния в смысле внезапного резкого возрастания деформаций.

   В сжатых стержнях большой гибкости, для которых применима формула Эйлера, после достижения силой Р критического значения обычно наблюдается резкий рост деформаций. До этого момента прогибы, как правило, растут с ростом нагрузки, но остаются незначительными. Теоретически можно было бы ожидать, что до критической силы стержень будет оставаться прямым; однако ряд неизбежных на практике обстоятельств — начальная кривизна стержня, некоторый эксцентриситет приложения нагрузки, местные перенапряжения, неоднородность материала — вызывают небольшие прогибы и при сжимающих силах, меньших критических.

   Подобный же характер имеет и зависимость укорочений от напряжения при сжатии коротких стержней; мы имеет ту же внезапность роста деформаций при определенной величине напряжений (когда ).

   Нам остается теперь рассмотреть поведение сжатых стержней при средних величинах гибкости, например для стальных стержней при гибкостях от 40 до 100; с подобными значениями гибкостей инженер чаще всего встречается на практике.

   По характеру разрушения эти стержни приближаются к категории ^ тонких и длинных стержней; они теряют свою прямолинейную форму и разрушаются при явлениях значительного бокового выпучивания. При опытах для них можно отметить наличие ясно выраженной критической силы в «эйлеровом» смысле; критические напряжения получаются выше предела пропорциональности и ниже предела текучести для пластичных и предела прочности для хрупких материалов.

   Однако потеря прямолинейной формы и понижение критических напряжений по сравнению с короткими стержнями для этих стержней «средней» гибкости связаны с такими же явлениями нарушения прочности материала, какие вызывают потерю грузоподъемности в коротких стержнях. Здесь комбинируются и влияние длины, понижающее величину критических напряжений, и влияние значительного роста деформаций материала при напряжениях за пределом пропорциональности.

   Экспериментальное определение критических сил для сжатых стержней производилось неоднократно как у нас, так и заграницей. Особенно обширный опытный материал собрал проф. Ф. Ясинский, составивший таблицу критических («ломающих») напряжений в. зависимости от гибкости для целого ряда материалов и положивший начало современным методам расчета сжатых стержней на устойчивость.

   На основании полученного опытного материала можно считать, что при критических напряжениях, меньших предела пропорциональности, все эксперименты подтверждают формулу Эйлера для любого материала.

   Для стержней средней и малой гибкости были предложены различные эмпирические формулы, показывающие, что критические напряжения при таких гибкостях меняются по закону, близкому к линейному:

где а и b — коэффициенты, зависящие от материала, a — гибкость стержня. Для литого железа Ясинский получил: а = 338,7МПа, b = 1,483 МПа. Для стали 3 при гибкостях от = 40 до = 100 коэффициенты а и b могут быть приняты: а = 336 МПа; b = 1,47МПа. Для дерева (сосна): а = 29,3 МПа; b = 0,194 МПа.

   Иногда удобны эмпирические формулы, дающие для неупругой области изменение критических напряжений по закону квадратной параболы; к ним относится формула

   Здесь при = 0 считают для пластичного и для хрупкого материала; коэффициент а, подобранный из условия плавного сопряжения с гиперболой Эйлера, имеет значение:

для стали с пределом текучести = 280 МПа а = 0,009 МПа

• сосны прочности = 30; а = 0,0008 »

• чугуна = 420; а = 0,044 »

   При наличии приведенных здесь данных может быть построен полный график критических напряжений (в зависимости от гибкости) для любого материала. На Рис.2 приведен такой график для строительной стали с пределом текучести и пределом пропорциональности .

Рис.2. Полный график критических напряжений для строительной стали.

 

   График состоит из трех частей: гиперболы Эйлера при , наклонной прямой при и горизонтальной, или слабо наклонной, прямой при . Подобные же графики можно построить, комбинируя формулу Эйлера с результатами экспериментов, и для других материалов.

   Таким образом, можно считать, что задача определения критических напряжений для стержней любой гибкости решена с достаточной для практических целей точностью.

19

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки при прямом изгибе определяются по формуле: где М - изгибающий момент в рассматриваемом поперечном сечении, у - расстояние от рассматриваемой точки до главной центральной оси, перпендикулярной плоскости действия изгибающего момента, l_x - главный центральный момент инерции сечения. Наибольшие растягивающие и сжимающие нормальные напряжения в данном поперечном сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной оси. Их определяют по формулам: где у₁ и у₂ расстояния от главной центральной оси х до наиболее удаленных растянутого и сжатого волокон. Для балок из пластичных материалов, когда (где - допускаемые напряжения для материала балки, соответственно на растяжение и сжатие), применяют сечения, симметричные относительно центральной оси. В этом случае условие прочности примет вид где - момент сопротивления площади поперечного сечения балки относительно главной центральной оси: h - высота сечения, М_max - наибольший по абсолютному значению изгибающий момент, - допускаемое напряжение материала на изгиб. Кроме условия прочности балка должна удовлетворять и условию экономичности. Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала (или при наименьшей площади поперечного сечения) получается наибольшая величина момента сопротивления. Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, по возможности распределять сечение подальше от главной центральной оси. Например двутавровая стандартная балка примерно в семь раз прочнее и в тридцать раз жестче, чем балка квадратного поперечного сечения той же площади, сделанная из того же материала ( рис. 4.15). Рис. 4.15 Необходимо иметь в виду, что при изменении положения сечения по отношению к действующей нагрузке прочность балки существенно изменяется, хотя площадь сечения и остается неизменной. В большинстве случаев с ростом момента инерции сечения возрастает и его момент сопротивления, но возможны и исключения, когда нерациональное увеличение момента инерции приводит к уменьшению момента сопротивления, т.е. снижению прочности бруса. Для балок из хрупких материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию, расчетные формулы для подбора сечения имеют вид: где М₁ и M₂ - наибольшие по абсолютному значению изгибающие моменты в опасных сечениях соответственно для растянутых или сжатых волокон. Для балок из хрупких материалов типа чугуна следует применять сечения, несимметричные относительно нейтральной оси, например: тавровое, несимметричное двутавровое, П-образное (рис. 4.16). При этом целесообразно располагать сечение таким образом, чтобы максимальные растягивающие и максимальные сжимающие напряжения в опасных сечениях балки были одновременно равны соответствующим допускаемым напряжениям. Во всех предыдущих случаях нагрузка действовала на балку только в одном направлении, и форма поперечного сечения балки оптимизировалась, исходя именно из этого условия. В некоторых же инженерных и в большинстве естественных объектов нагрузка может действовать в различных направлениях. Приблизительно так распределяются нагрузки в фонарном столбе, ножке стула, бамбуке или кости ноги. В этих случаях надежнее ведут себя круглые полые трубы (рис. 4.17). Однако существуют и другие способы увеличения прочности конструкции. Это предварительное напряжение. Рис. 4.17 Например дерево, которое подвергается изгибающим нагрузкам, вызванным давлением ветра. При сжатии древесина значительно хуже работает, чем при растяжении. Когда напряжение сжатия достигает 30 Мн/мг, дерево начинает ломаться. Стало известно, что ствол дерева оказывается напряженным. Каким-то образом дерево растет так, что внешние слои древесины обычно растянуты (примерно до 15 Мн/м ), в то время как внутренние сжаты. Примерное распределение предварительных напряжений в сечении ствола показано на рис 4.18,6, напряжений только от изгиба - на рис. 4.18,а и суммарных напряжений - на рис. 4.18,в. Рис. 4.18 Дерево уменьшает наибольшую величину сжимающего напряжения примерно вдвое, правда, при этом возрастает максимальное растягивающее напряжение, но дерево вполне с ним может справиться2

20

Расчеты на устойчивость при помощи коэффициентов уменьшения основного допускаемого напряжения

Можно считать, что центрально сжатые стержни теряют свою несущую способность от потери устойчивости раньше, чем от потери прочности, так как критическое напряжение всегда меньше предела текучести или предела прочности:

,

где — для пластичных материалов;

— для хрупких материалов.

Необходимо напомнить, что для стержней малой гибкости трудно говорить о явлении потери устойчивости прямолинейной формы стержня, как это имеет место для стержней средней и большой гибкости. Несущая способность стержней малой гибкости определяется прочностью материала.

Критическое напряжение для центрально сжатых стержней средней и большой гибкости представляет, пожалуй, большую опасность, чем предел текучести для пластичных материалов или предел прочности для хрупких материалов при простом растяжении. Очевидно, что при практическом решении вопроса об устойчивости стержня нельзя допустить возникновения в нем критического напряжения, а следует принять соответствующий запас устойчивости.

Чтобы получить допускаемое напряжение на устойчивость, нужно выбрать коэффициент запаса . Тогда

.

(14.37)

Коэффициент запаса на устойчивость всегда принимают несколько больше основного коэффициента запаса на прочность . Это делается потому, что для центрально сжатых стержней ряд обстоятельств, неизбежных на практике (эксцентриситет приложения сжимающих сил, начальная кривизна и неоднородность стержня), способствуют продольному изгибу, в то время как при других видах деформации эти обстоятельства почти не сказываются. Коэффициент запаса устойчивости для сталей выбирают в пределах 1,8—3,0; для чугуна — в пределах 5,0—5,5; для дерева — 2,8 ... 3,2. Заметим, что меньшие значения принимают при большей гибкости.

Допускаемое напряжение на устойчивость и допускаемое напряжение на прочность при сжатии взаимно связаны. Составим их отношение:

, или .

(14.38)

Обозначив

,

Получим

.

(14.39)

Здесь — коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения при расчете на устойчивость. Этот коэффициент для каждого материала можно вычислить при всех значениях гибкости и представить в виде таблицы или графика зависимости от . Значения коэффициента для сталей, чугуна и дерева приведены в табл. 14.2. Пользуясь аналогичными таблицами, можно достаточно просто рассчитывать стержни на устойчивость.

Составим условие устойчивости сжатых стержней:

.

(14.40)

Так как

, а ,

то условие устойчивости принимает вид

.

22

РИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА НА УДАР Работа машин во многих случаях сопряжена с ударными нагрузками, которые либо обусловлены назначением этих машин (например, ковочное оборудование), либо являются нежелательным следствием .различных конструктивных факторов (например, зазоров в местах сопряжения деталей). Расчет деталей машин на прочность при ударной нагрузке связан, с одной стороны, с определением возникающих при ударе напряжений, с другой — с- установлением свойств материалов при ударном нагружении. Решение первой из этих задач относится к области сопротивления материалов и смежных наук, второй — в основном к области материаловедения. Определение напряжений и деформаций при ударе — одна из наиболее сложных задач сопротивления материалов и смежных наук — теории упругости и теории пластичности, которая еще далека от своего окончательного решения. Здесь будет рассмотрен лишь наиболее простой и весьма приближенный метод расчета на удар, базирующийся на следующих основных допущениях: 1. Материал упругой системы (рассчитываемого элемента конструкции) при деформациях, вызванных ударной нагрузкой, следует закону ГуКа и система является линейно деформируемой (см. стр. 17,18); при этом модуль упругости имеет то же значение, что и при статическом нагружении *. 2. Работа силы тяжести падающего (ударяющего) груза полностью переходит в потенциальную энергию деформации элемента конструкции, испытывающего действие удара (таким образом, не учитывается затрата энергии на местные деформации в зоне контакта соударяющихся тел.) 3. Масса упругой системы (элемента конструкции), воспринимающей действие ударной нагрузки, мала по сравнению с массой ударяющего груза, т. е. система рассматривается как невесомая. 4. Удар считается неупругим, т. е. после соприкосновения ударяющего груза с упругой системой Ън не отскакивает и при ее деформации движется с ней совместно. Рассмотрим удар груза весом Q, падающего с высоты h на некоторую упругую систему, например цилиндрическую винтовую пружину (рис. 13.5). Рис. 13.5 * Экспериментальные данные подтверждают, что модуль упругости для данного материала практически не зависит от скорости деформации. 17* 475

23