Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений.

Необходимо построить эпюры внутренних силовых факторов, а так же найти реакции.

Решение.

1.Определяем число неизвестных метода перемещений.

n=1+1=2

V=2·6-5-6=1

2.Выбираем основную систему метода перемещений.

3.Записываем канонические уравнения метода перемещений.

r₁₁ + z₁ + r₁₂ + z₂ + R_1P = 0

r₂₁ + z₁ + r₂₂ + z₂ + R_2P = 0

4.Строим эпюры изгибающих моментов в основной системе от z₁=1, z₂=1 и от нагрузки.

5.Определяем реакции во вновь введённых связях.

6.Подставляем найденные значения реакций в уравнения.

15·z₁ + 2,25·z₂ - 81 = 0

2,25·z₁ + 0,75·z₂ + 0 = 0

z₁ = 9,8185 кН·м, z₁ = -29,4569 кН.

7.Определяем концевые моменты и поперечные силы в стержнях заданной системы.

8.Строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил в заданной системе от нагрузки.

9.Определяем продольные силы в стержнях рамы, используя способ вырезания узлов.

10.Строим эпюру продольных сил в заданной системе от нагрузки.

11.Выполняем статическую проверку.

Все.

10

Канонические уравнения метода сил

 

Для получения дополнительных уравнений, о которых говорилось в предыдущем параграфе, нужно прежде всего превратить заданную, n раз статически неопределимую систему, в статически определимую, удалив из нее лишние связи. Полученная статически определимая система называется основной. Отметим, что преобразование заданной системы в статически определимую не является обязательным. Иногда используется модификация метода сил, в которой основная система может быть статически неопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этого пособия. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными. В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения. Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:

 

 

где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. - это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; - перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки. В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через Xk. С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде:

 

 

где - единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией т.е. реакцией, совпадающей по направлению с Xk, но равной единице. Подставляя (2) в (1), получим:

 

 

Физический смысл уравнения (3): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю. Записывая выражения, аналогичные (3), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:

 

 

Вид уравнения (4), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.

Коэффициенты системы канонических уравнений (4) определяются методом Мора-Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр. Все эти коэффициенты, как указывалось выше, представляют собой перемещения; коэффициенты, стоящие при неизвестных – единичные перемещения, а свободные члены – грузовые. Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы и побочные ( ). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е.

11

Контроль правильности решения статически неопределимой системы

Окончательные эпюры , и подлежат обязательной проверке. Проверяют при этом условия равновесия и деформаций.

Для проверки условий равновесия следует вырезать узел или какую-либо часть системы и удостовериться в ее равновесии:

; ;

При этом нужные величины следует брать непосредственно из окончательных эпюр. Рассмотрим, как должны быть проверены условия равновесия для эпюр, показанных на рис. 2.5.5, а.

Рис. 2.5.5

Вырежем узел С (рис. 2.2.5, б), а действие отброшенных частей на узел С заменим соответственно внутренними силовыми факторами, значения которых берем из эпюр.

Так, снизу на узел будет действовать: поперечная сила (направляем эту силу так, что бы она поворачивала узел против часовой стрелки), продольная сила (направляем эту силу от узла С) и изгибающий момент (направляем момент в сторону сжатых левых волокон).

Справа на узел будет действовать: поперечная сила (направляем эту силу так, что бы она поворачивала узел против часовой стрелки), продольная сила (направляем эту силу к узлу С) и изгибающий момент (направляем момент в сторону сжатых верхних волокон).

Составим уравнения равновесия:

Поперечная сила и поперечная сила приложены на бесконечно малом расстоянии от точки С, поэтому момент от этих сил относительно точки С будет равен нулю. В уравнение моментов в данном случае войдут только изгибающие моменты.

Проверка условий равновесия не является достаточной, так как она определяет правильность комбинации усилий для конструкции, но не указывает на правильность нахождения самих величин нагрузок.

Общим контролем является проверка выполнения деформационных условий. Перемещение по направлению любой лишней связи должно быть равно нулю. При использовании способа Верещагина умножают окончательную эпюру изгибающих моментов на ранее построенные единичные эпюры ( , , …). Произведения должны быть равны нулю.

12

14

Рассмотрим два стержня, из которых первый (рис.11.40,а) представляет систему статически определимую, а второй (рис.11.40,б) — статически неопределимую.

а	б	в

Рис.11.40. Температурные напряжения

При нагревании на стержень, заделанный одним концом, увеличит свои поперечные и продольные размеры (рис.11.40,а). Увеличение длины , по известной из физики формуле, составит

,

где — температурный коэффициент линейного расширения.

Так как никаких препятствий к удлинению стержня нет, то никакие внутренние усилия в нем не возникнут.

При нагревании на стержня, заделанного двумя концами (рис.П.40,б), возникнет внутреннее сжимающее усилие, так как вторая заделка препятствует удлинению стержня.

Отсюда следует общее правило: в статически определимых системах при изменении температуры возникают деформации без появления внутренних усилий; в статически неопределимых системах изменение температуры сопровождается появлением внутренних усилий.

Для определения последних применим обычный способ расчета статически неопределимых систем. Отбросим одну из заделок, например правую. Тогда стержень имеет возможность удлиняться на величину . Но реактивная сила X сжимает стержень на величину и фактическое перемещение правого крайнего сечения равно нулю, отсюда

и

Тогда температурные напряжения в стержне постоянного сечения определяются формулой

Температурные напряжения, определяемые формулой (), могут достигать весьма больших значений.

Для их уменьшения в конструкциях предусматриваются специальные температурные зазоры (швы).

Кроме напряжений температурных напряжений, в статически непреодолимых системах возникают напряжения при монтаже конструкции вследствие того, что отдельные стержни могут иметь отклонения от расчетной длины из-за неточности изготовления.

15

Устойчивое и неустойчивое равновесие

Наглядной иллюстрацией устойчивого и неустойчивого равновесия служит поведения тяжелого шарика на гладкой поверхности (рис. 1.5). Интуиция и опыт подсказывают, что помещенный на вогнутую поверхность шарик останется на месте, а с выпуклой и седлообразной поверхностей он скатится. Положение шарика на вогнутой поверхности устойчиво, а положение шарика на выпуклой и седлообразной поверхностях неустойчиво. Аналогично два соединенных шарниром прямых стержня при растягивающей силе находятся в устойчивом положении равновесия, а при сжимающей силе — в неустойчивом (рис. 1.6). в Mi

Но интуиция может дать верный ответ только в простейших случаях; для более сложных систем одной интуиции оказывается недостаточно. Например, даже для сравнительно простой механической системы, изображенной на рис. 1.7, а, интуиция может лишь подсказать, что положение равновесия шарика на вершине при очень малой жесткости пружины будет неустойчивым, а с увеличением жесткости пружины оно должно стать устойчивым. Для изображенной на рис. 2.3, б системы стержней, соединенных шарнирами, на основе интуиции можно только сказать, что исходное положение равновесия этой системы устойчиво или неустойчиво в зависимости от соотношения между силой, жесткостью пружины и длиной стержней.

16

Формула Эйлера.

Впервые проблема устойчивости сжатых стержней была поставлена и решена академиком Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером в 1744 году. Научные интересы Эйлера относились ко всем основным областям естествознания, к которым можно было применить математические методы. Он впервые ввел понятие сил инерции, дал вывод формулы для критической нагрузки сжатого стержня. Труды Эйлера оказали большое влияние на развитие математики и механики второй половины XVIII и начала XIX века.

Рис. 2.9.5 Леонард Эйлер (1707-1783)

Идея метода Эйлера при решении вопросов устойчивости сжатого стержня заключалась в установлении условий, при которых кроме прямолинейной возможна и криволинейная форма равновесия стержня при постоянной нагрузке.

Рассмотрим стержень, сжатый критической силой Р_кр и выведенный из состояния прямолинейного равновесия (рис. 2.9.6). После устранения воздействия, которое вывело стержень из состояния прямолинейного равновесия, стержень остается быть изогнутым.

Рис. 2.9.6

Предположим, что напряжения, возникающие в материале стержня, не превышают предела пропорциональности. При условии малости деформаций мы можем воспользоваться основным дифференциальным уравнением упругой линии

(2.9.1)

где - наименьший осевой момент инерции сечения стержня.

В расчет принимается наименьшая жесткость, так как очевидно, что изгиб произойдет перпендикулярно к оси наименьшей жесткости.

Для произвольного сечения с координатой

(2.9.2)

Подставим (2.9.2) в (2.9.1)

,

или

,

обозначая через , получаем однородное дифференциальное уравнение

. (2.9.3)

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

(2.9.4)

Для определения констант интегрирования запишем начальные условия

(2.9.5)

Из первого условия

(2.9.6)

Из второго условия, учитывая, что

(2.9.7)

Константа , представляющая собой наибольший прогиб стержня, не может быть равна нулю, в противном случае прогиб по всей длине балки будет равен нулю, что противоречит исходным условиям формы равновесия стержня. Следовательно,

или

, (2.9.8)

где - произвольное целое число.

выражая через , можно записать

или

(2.9.9)

Так как для нас представляет интерес наименьшее значение критической силы, то следует принять минимальное значение . Так как , поскольку в противном случае значение критической силы было бы равно нулю, то принимаем . Тогда

(2.9.10)

Полученное выражение и есть формула Эйлера для сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами, а значение усилия носит название критической силы по Эйлеру.

Искривленную форму, которую принимает стержень в момент потери устойчивости (прямолинейной формы равновесия) называют эластикой Эйлера. Для шарнирно закрепленного стержня она представляет собой полуволну синусоиды

(2.9.11)

17

Влияние условий закрепления на величину критической силы

Мы рассмотрели так называемый основной случай нагружения и закрепления концов сжатого стержня – стержень с шарнирно опертыми концами. Рассмотрим другие случаи закрепления концов стержня.

Рис. 2.9.7

На рисунке 2.9.7,а показан стержень, длиной , жестко защемленный одним концом и нагруженный сжимающей силой на другом конце. Изогнутая ось данного стержня будет находиться в тех же условиях, что и правая часть стержня двойной длины с шарнирно-закрепленными концами (рис. 2.9.7, б). Значит, критическая сила для стойки с одним защемленным, а другим свободным концами будет та же, что для стойки с шарнирно-опертыми концами при длине :

(2.9.12)

Аналогично можно определить значение критической силы для стержня, у которого оба конца жестко заделаны (рис.2.9.8, а)

Рис. 2.9.8

После потери устойчивости стержня вследствие симметрии средняя его часть длиной работает в тех же условиях, что и стержень при шарнирно опертых концах (рис.2.9.8, б)

(2.9.13)

Анализируя выражения (2.9.10), (2.9.12) и (2.9.13), формулу для критической силы можно представить в виде

(2.9.14)

где - коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления стержня.

Понятие коэффициента приведения длины впервые было введено известным русским ученым Феликсом Станиславовичем Ясинским, который столкнулся с проблемой устойчивости стержней при составлении проектов усилений металлических мостов. Он так же исследовал точное решение дифференциального уравнения продольного изгиба и ввел понятие приведенной длины .

18