- •Свойства определителей
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы.
- •Элементарные преобразования матрицы:
- •Метод обратной матрицы.
- •Условие совместимости линейных уравнений. Теоремы о числе решений (без доказательств).
- •14. Методы Гаусса решения слау.
- •Пример. Методом Гаусса решить систему:
- •15. Однородные системы линейных уравнений.
- •16. Виды числовых множеств.
- •17. Понятия отображения и функции. Способы задания функции.
- •Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •19. Понятия абсолютной величины. Свойства.
- •20. Монотонные и ограниченные функции. Четные и нечетные. Периодические функции. Сложная и обратная функции.
- •21. Предел функции х→∞и при х→х0. Односторонние пределы. Свойства пределов.
- •Свойства пределов функции
- •22. Числовые последовательности и их пределы. Свойства пределов.
- •23. Бесконечно малые величины. Сравнение бесконечно малых. Бесконечно малые величины
- •Связь бесконечно малых величин с пределами функций
- •Свойства бесконечно малых величин
- •Сравнение бесконечно малых
- •24. Замечательные пределы: число е. Следствия из 2-го замечательного предела. Второй замечательный предел.
- •25. Непрерывность функции. Точки разрыва 1-го и 2-го рода.
- •26. Понятие производной. Геометрический и механический смысл. Определение производной
- •27. Дифференцируемость и непрерывность.
- •28. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная линейной функции. Производная суммы, произведения, частного. Производная логарифма.
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
- •5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
- •29. Правила дифференцирования. Производная от обратной функции. Производная степенной и показательной функции. Логарифмическое дифференцирование.
- •30. Правила дифференцирования. Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
- •Производная сложной функции
- •31. Дифференциал функции. Геометрический смысл. Свойства. Инвариантность формы.
- •Инвариантность формы дифференциала
- •32. Производные высших порядков.
- •33. Дифференциалы высших порядков.
- •34. Правило Лопиталя.
34. Правило Лопиталя.
Правило Лопиталя (раскрытие неопределённостей):
Будем говорить, что отношение f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при xа, если limxаf(x)= limxаg(x)=0. Раскрыть эту неопредел-сть – это значит найти limxаf(x)/g(x), если он существует.
Теорема №1: Пусть f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки х=а, за исключением, быть может, самой точки a, limxаf(x)= limxаg(x)=0, g(x) и g'(x)0 в этой окрестности. Тогда, если существует limxаf'(x)/g'(x), то существует limxаf(x)/g(x) и имеет место равенство limxаf(x)/g(x)=limxаf'(x)/g'(x) {1}. Доказательство: Будем считать, что а – конечное число. (В случае а= см. ниже замечание 3.) Доопределим функции f и g в точке х=а, полагая f(a)=g(a)=0. Тогда эти функции будут непрерывны в точке а. Рассмотрим отрезок [а,х], где х>а или х<а. На [а,х] функции f и g непрерывны, а на (а,x) дифференцируемы, поэтому по теореме Коши существует точка S такая, что (f(x)–f(a))/(g(x)–g(a))=f'()/g'() (при (а,x)) или f(x)/g(x)=f'()/g'().
Когда хa и, то и a, поэтому в силу условия теоремы имеем limxаf(x)/g(x)=limаf'()/g'() =limxаf'(x)/g'(x) {2}при условии, что предел в правой части равенства существует. Этим теорема доказана. Замечания: [1] Если предел справа в {1}не существует, то предел слева может существовать.
[2] Если выражение f'(x)/g'(x) представляет неопределенность вида 0/0 г и функции f'(x), g'(х) удовлетворяют условию теоремы №1, то limxаf(x)/g(x)=limxаf'(x)/g'(x)= limxаf''(x)/g''(x)
П ри этом эти равенства надо понимать в том смысле, что если существует третий предел, то существует и второй и первый. Теорема №2 (/): Пусть f и g определены и дифференцируемы в окрестности точки х=a, limxaf(х)= limxag(х)=, g(x) и g'(x)0 в этой окрестности, тогда, если limxаf'(x)/g'(x), то limxаf(x)/g(x). [3] Если а=, то замена х=1/t сводит дело к а=0:
Выражаемые теоремами №1, 2 правила, в силу которых вычисление предела отношения функций может быть сведено к вычислению предела отношения их производных, наз. правилом Лопиталя по имени математика, который сформулировал это правило, правда, для весьма простых случаев. Впрочем, это правило было известно И. Бернулли до Лопиталя.