Инвариантность формы дифференциала

Если , то из (7.4) имеем .

Рассмотрим сложную функцию , где .

Если функции и дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна .

Умножим обе части равенства на : . Таким образом, .

Это равенство означает, что формула дифференциала не изменится, если вместо функции от независимой переменной рассматривать функцию от зависимой переменной . Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы дифференциала.

32. Производные высших порядков.

Ясно, что производная

функции y =f (x) есть также функция от x:

y' =f ' (x)

.   Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением

можем написать

Пример.    

  Очень удобно пользоваться также обозначением

 ,

указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.   Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется третьей производной функцииy=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами

.

  Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами

33. Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалы высших порядков

Пусть в интервале (a, b) задана дважды дифференцируемая функция y = f(x), где x — независимая переменная.

Фиксируем приращение dx = Δx независимой переменной x, т.е. будем считать первый дифференциал

 

dy = f'(x) dx

(1)

 

функцией только переменной x.

Дифференциал от первого дифференциала, при условии, что повторное приращение независимой переменной x совпадает с первоначальным, называется вторым дифференциалом функции f(x) в точке x и обозначается d² f(x).

Дифференцируем выражение в правой части (1) как произведение

 

d2 f(x) = d (df(x) ) = d (f'(x) dx) = f''(x) dx · dx + f'(x) · d(dx) .

 

Учитывая, что d (dx) = 0, получаем формулу для вычисления второго дифференциала

 

d2 f(x) = f ''(x) dx2 .

(2)

 

Пусть в интервале (a, b) функция f(x) имеет производные до n–го порядка включительно.

Дифференциалом n–го порядка называется дифференциал от дифференциала (n − 1)–го порядка

 

dn f(x) = d (d(n − 1) f(x)).

 

Формула для вычисления дифференциала n–го порядка

 

dn f(x) = f(n) (x) dxn .

 

Неинвариантность формы дифференциала порядка выше первого

Рассмотрим случай, когда х является не независимой переменной, а функцией от другой переменной

 

y = f(x),     x = j(u).

 

В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем

 

dy = f '(x) dx.

(3)

 

Теперь в правой части формулы (3) от переменной u зависит не только функция f(x), но и дифференциал dx . Следовательно

 

dx = j '(u) du,     d2 x = j''(u) du2 .

 

Таким образом, в общем случае

 

d2 y = f''(x) dx2 + f'(x) d2 x.

(4)

 

Сравнивая формулы (2) и (4), убеждаемся, что дифференциалы второго (и более высоких порядков) не обладают инвариантностью формы.