![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Понятие и представления комплексных чисел
- •7.Неопределенный интеграл. Метод интегрирования по частям
- •8. Разложение рациональной дроби на простейшие
- •9. Интегрирование рациональных функций
- •10. Интегрирование тригонометрических функций.
- •11. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •12. Интегрирование иррациональных функций
- •13. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •14. Замена переменной в определенном интеграле
- •15. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •16. Вычисление площадей в прямоугольных координатах
- •17. Несобственные интегралы. Интеграл с бесконечными пределами интегрирования
- •18. Несобственные интегралы. Интеграл в смысле главного значения
- •19. Двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла
- •20. Двойной интеграл. Замена переменных в двойном интеграле
- •21. Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла
- •22. Криволинейные интегралы 1 рода. Вычисление криволинейного интеграла
- •23. Криволинейные интегралы 2 рода. Вычисление криволинейного интеграла
- •24. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда
- •25. Числовые ряды. Признак Даламбера
- •26. Числовые ряды. Признак Коши
- •27. Числовые ряды. Интегральный признак сходимости ряда
- •28. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •29. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •30. Функциональные ряды
- •31. Степенные ряды. Интервал сходимости
- •32. Ряды Тейлора и Маклорена
- •33. Степенные ряды, разложение функций в степенные ряды
- •34. Ряды Фурье. Определение. Постановка задачи
- •35. Разложение в ряд Фурье периодических функций
- •36. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
22. Криволинейные интегралы 1 рода. Вычисление криволинейного интеграла
Пусть
кривая C описывается векторной
функцией
,
где переменная s представляет
собойдлину дуги кривой (рисунок
1).
Если на кривой C определена скалярная
функция F, то интеграл
называется криволинейным
интегралом первого рода от скалярной
функции F вдоль кривой C и
обозначается как
Криволинейный
интеграл
существует,
если функция F непрерывна на
кривой C.
Пусть
—
гладкая, спрямляемая кривая, заданная
параметрически (как в определении).
Пусть функция
определена
и интегрируема вдоль кривой
в
смысле криволинейного интеграла первого
рода. Тогда
.
Здесь
точкой обозначена производная по
:
.
23. Криволинейные интегралы 2 рода. Вычисление криволинейного интеграла
Криволинейным
интегралом II рода от функций
и
по
плоской кривой
от
точки
к
точке
называют
предел ,
где
точки
–
точки, которые разбивают участок
кривой
от
точки
до
точки
на
частей,
а
и
–
приращения соответствующих координат
при переходе от точки
к
точке
.
Криволинейный интеграл II рода
обозначают:
или
.
Пусть — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда
,
,
.
Если
обозначить за
единичный
вектор касательной к кривой
,
то нетрудно показать, что
24. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда
Числовой
ряд – это сумма членов числовой
последовательности вида
.
Ряд
может сходиться лишь в том случае, когда
член
(общий
член ряда) стремится к нулю:
Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.
25. Числовые ряды. Признак Даламбера
При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.
Теорема (признак
Даламбера). Если в ряде с положительными
членами
отношение
-го
члена ряда к
-му
при
имеет
конечный предел
,
т.е.
,
то:
- ряд сходится в случае
,
-
ряд расходится в случае
.
В
случаях, когда предел не существует
или он равен единице, ответа на вопрос
о сходимости или расходимости числового
ряда теорема не дает. Необходимо провести
дополнительное исследование.
26. Числовые ряды. Признак Коши
Если для числового ряда
с
неотрицательными членами существует
такое число
,
,
что, начиная с некоторого номера,
выполняется неравенство
,
то данный ряд сходится.
Условие радикального признака равносильно следующему:
То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:
-
Если для ряда
, то
если
ряд сходится,
если
ряд расходится,
если
вопрос о сходимости ряда остается открытым.
27. Числовые ряды. Интегральный признак сходимости ряда
Пусть для функции f(x) выполняется:
(функция
принимает неотрицательные значения)
(функция
монотонно убывает)
(соответствие
функции ряду)
Тогда
ряд
и
несобственный интеграл
сходятся
или расходятся одновременно.