7.Неопределенный интеграл. Метод интегрирования по частям

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

Функции   и   гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во времяинтегрирования.

8. Разложение рациональной дроби на простейшие

Пусть знаменатель правильной рациональной дроби   может быть представлен в виде   (множителей вида  может быть несколько), где  — заданные числа

 трехчлен не имеет действительных корней.

Тогда представляется в виде суммы простейших дробей

1—3 типов:

 

где — неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя к

9. Интегрирование рациональных функций

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

  Теорема: Если    - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)^…(x - b)^(x² + px + q)^…(x² + rx + s)^ ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

 

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

  При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

10. Интегрирование тригонометрических функций.

1. Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

2. Интегралы вида

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

11. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

1. Интегралы вида 

Для решения данных интегралов применяются формулы преобразования произведения тригонометрические функций в сумму или разность:

2. Интегралы вида 

Здесь и везде ниже предполагается, что m и n - натуральные числа. Для вычисления таких интегралов используются следующие подстановки и преобразования:

Если степень косинуса n - нечетная (при этом степень синуса m может быть любой), то используется подстановка  .

Если степень синуса m - нечетная, то используется подстановка  .

Если степени m и n - четные, то сначала применяются формулы двойного угла

чтобы понизить синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).

3. Интегралы вида 

Степень подынтегрального выражения в данном интеграле можно понизить с помошью тригонометрического соотношения   и формулы редукции

4. Интегралы вида 

Здесь степень подынтегрального выражения понижается с помошью соотношения   и формулы редукции

5. Интегралы вида 

Данный тип интеграла упрощается с помощью следующей формулы редукции:

6. Интегралы вида 

Аналогично предыдущим пунктам, интеграл упрощается с помощью формулы

7. Интегралы вида 

Если степень секанса n - четная, то c помошью соотношения   секанс выражается через тангенс. При этом множитель   отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате весь интеграл (включая дифференциал) выражается через функцию tg x.

Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель sec x tg x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее весь интеграл выражается через sec x.

Если степень секанса n - нечетная, а степень тангенса m - четная, то тангенс выражается через секанс с помощью формулы  . Затем вычисляются интегралы от секанса.

8. Интегралы вида 

Если степень косеканса n - четная, то c помошью соотношения   косеканс выражается через котангенс. При этом множитель   отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате подынтегральная функция и дифференциал выражаются через ctg x.

Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель ctg x cosec x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее интеграл выражается через cosec x.

Если степень косеканса n - нечетная, а степень котангенса m - четная, то котангенс выражается через косеканс с помощью формулы  . Далее вычисляются интегралы от косеканса.