Ломаные Эйлера и теорема Пеано.

Пусть G – область в (или в ), а отображение (или ) непрерывна на G. Тогда существует решение задачи Коши:

определенное на (единственности может не быть).

Доказательство:

◄ Пусть тогда существует область компактно лежащая в G. То есть

1. - ограничена,

2. замыкание

Такая, что (так как G – открыта, то в качестве можно взять окрестность точки , лежащей в G), то по теореме Вейерштрассе , , . Поэтому , что конус

, .

(в силу открытости G*)

Построим ломаные Эйлера (будем доказывать “вправо”, то есть на ; “влево” аналогично).

Узлы ломаной Эйлера:

Уравнения ломаной Эйлера:

,

где . Как в прошлом семестре, получим, что – обобщенное решение задачи Коши:

,

где , то есть удовлетворяет интегральному уравнению .

Аналогично (см. I семестр) графики ломаных Эйлера при всех лежат в Q, отсюда следует, что семейство ломаных Эйлера равномерно ограничено при . Покажем, что оно равностепенно непрерывно. Имеем:

=

семейство равностепенно непрерывно .

Придадим h последовательность значений . По лемме Арцелы из соответствующей последовательности ломаных Эйлера можно выделить равномерно сходящуюся на к некоторой непрерывной функции (векторной) подпоследовательность . Покажем, что – решение интегрального уравнения (3). Заметим, что график лежит в Q (в силу замкнутости Q).

Сделаем оценки:

+ + +

при , так как

= ,

при , на в силу оценок ,

и равномерной непрерывности на непрерывной функции (по теореме Кантора).

Аналогично: при на в силу оценок , по построению и равномерной непрерывности f на , отсюда следует – решение интегрального уравнения (3) и, в силу непрерывности решение задачи Коши (1), (2) (как и в первом семестре). ►

Аналогично прошлому семестру доказывается теорема о продолжении решения в - окрестности границы области и вплоть до границы области (“липшицевость” не нужна). Как было отмечено выше в теореме Пеано единственности нет.

Теорема о единственности решения задачи Коши для систем оду. Следствие для оду n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы.

Теорема:

Пусть в условии теоремы Пеано функция удовлетворяет условию Липшица по y то есть , тогда решение задачи (1), (2) единственно.

Доказательство:

◄ Пусть и – решения задачи (1), (2) на , тогда

–

= .

По замечанию к лемме Гронуолла:

на ►

Следствия для ОДУ n-го порядка.

Теорема:

Пусть G – область в или , а функция , непрерывна по x и удовлетворяет условию Липшица по z, Тогда существует единственное решение задачи Коши:

,

определенное в окрестности точки .

Доказательство:

◄ Для доказательства достаточно перейти к нормальной системе и использовать предыдущие теоремы ►

Следствия для линейной системы.

Теорема:

Пусть в системе

, (1)

где

функции и непрерывны на , со значениями в С.

Тогда:

1) ;

2) существует единственное решение задачи (1), (2), где (2);

3) определенном на всем .

Доказательство:

◄ Пусть – произвольная точка из , а – произвольный вектор из . По теореме Вейерштрассе , , покажем, что удовлетворяет условию Липшица по y (заметим, что непрерывна на ). Имеем

=

.

По доказанным теоремам существует единственное решение, определенное в окрестности точки . Оценим решение задачи (1), (2):

= + + + + + + + + +

По замечанию к лемме Гронуолла

при некотором . Продолжим решение вплоть до границы области , .

В силу график не может выйти на границу

боковой части.

В силу график выйдет на границу

K только при и при продолженное

y(x) определено на всем

0 a b

►

Следствия для линейной ОДУ n-го порядка.

Теорема:

Пусть в уравнении

(1).

и непрерывны на со значениями в С, тогда:

1) ,

2) Для любого набора комплексных чисел ! решение задачи Коши (1), (2), где

(2),

3) определенное на всем

Доказательство:

◄ Для доказательства достаточно перейти к нормальной линейной системе. ►